如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°．（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 06:09:58
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°．（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长．
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°．
（1）求大圆半径的长；
（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长．
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径长为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,且AB=3CD,∠COD=60°．（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长．
（1）过点O作OE⊥AB,
∵ OC=OD=2,∠COD=60°,AB=3CD
∴ CD=2,AB=6；
∵AE=1/2AB,∠A=∠COA=30°,
∴AE=3,AO=2√ 3；
（2）∵OF⊥AE,OF=2,AO=2√ 3,
∴AF=√（OA²-OF²）=2√ 2,
∴AE=2AF=4√ 2.
分析：（1）求大圆的半径，需通过构建直角三角形求解．连接OA，取AB的中点M，连接OM；在构建的Rt△OAM中，OM的长可在等边△OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长．
（2）连接OF，由切线的性质知：OF⊥AE；根据垂径定理可得AF=
12AE；
由于AC=CD=2，可用切割线定理求出AF的长，进而可求出AE的长．（1）如...
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分析：（1）求大圆的半径，需通过构建直角三角形求解．连接OA，取AB的中点M，连接OM；在构建的Rt△OAM中，OM的长可在等边△OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长．
（2）连接OF，由切线的性质知：OF⊥AE；根据垂径定理可得AF=
12AE；
由于AC=CD=2，可用切割线定理求出AF的长，进而可求出AE的长．（1）如图，在小圆中；
∵CO=DO，∠COD=60°；
∴△COD是等边三角形；
取CD的中点M，连接OM，则OM⊥CD；
∵CO=2，
∴OM=32CO=3．
连接AO，在Rt△AOM中，AM=32CD=3；
∴AO=OM2+AM2=3+9=23．
即大圆的半径长为23．
（2）连接OF．
∵AE是小圆的切线，且切点为F；
∴OF⊥AE．
又∵AE为大圆的弦，
∴AE=2AF．
由切割线定理，有：AF2=AC•AD；
∵AC=AD=2，AD=2CD，
∴AF=22；
∴AE=2AF=42．点评：本题主要考查了垂径定理、解直角三角形和切割线定理．求圆的弦长等问题一般要转化为解直角三角形的问题．
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