微积分 求面积如果双扭线 r^2=2a^2 cos(2θ) 对Y轴旋转, 求旋转后形成的面积

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 11:00:48
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微积分 求面积如果双扭线 r^2=2a^2 cos(2θ) 对Y轴旋转, 求旋转后形成的面积
微积分 求面积
如果双扭线 r^2=2a^2 cos(2θ) 对Y轴旋转, 求旋转后形成的面积

微积分 求面积如果双扭线 r^2=2a^2 cos(2θ) 对Y轴旋转, 求旋转后形成的面积
先说我的疑问:对Y轴旋转,难道不是求旋转体的体积?
不过我给出的是双扭线的面积.
只需求出介于 θ = 0,和θ = π/4之间的面积 S,整个面积是其4倍,即4S
注:下面的积分中,0和π/4分别是积分下限、上限,不再一一说明.
4S = 4* 1/2*∫r^2dθ =2*∫2a^2 cos(2θ)dθ
=2* a^2 * ∫cos(2θ)d(2θ)=2* a^2* sin(2θ) (代入积分下限、上限)
= 2 * a^2

旋转曲面面积元素dF=2πxds,ds是弧微分,ds=√[ρ^2+(ρ')^2]dθ,整理得dF=4πa^2cosθdθ
由对称性,面积F=2∫(0~π/4) 4πa^2cosθdθ=4√2πa^2

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