极限和无穷小题目来源是同济大学第六版高等数学辅导第一章的自测题.1.当x->0时,a(x)=kx^2 b(x)=√(1+xarcsinx)-√(cosx)是等价无穷小,则k= .2.lim{[√(n+3√n)]-[(n-√n)^(1/3)]}= .求具体过程,我算出来都和
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:02:05
极限和无穷小题目来源是同济大学第六版高等数学辅导第一章的自测题.1.当x->0时,a(x)=kx^2 b(x)=√(1+xarcsinx)-√(cosx)是等价无穷小,则k= .2.lim{[√(n+3√n)]-[(n-√n)^(1/3)]}= .求具体过程,我算出来都和
极限和无穷小
题目来源是同济大学第六版高等数学辅导第一章的自测题.
1.当x->0时,a(x)=kx^2 b(x)=√(1+xarcsinx)-√(cosx)是等价无穷小,则k= .
2.lim{[√(n+3√n)]-[(n-√n)^(1/3)]}= .
求具体过程,我算出来都和答案对不上.
第一道题目的答案是3/4 ,
我第一道算出个1/4,第二道算出个2/3.
郁闷.
第二道是 x->无穷.
极限和无穷小题目来源是同济大学第六版高等数学辅导第一章的自测题.1.当x->0时,a(x)=kx^2 b(x)=√(1+xarcsinx)-√(cosx)是等价无穷小,则k= .2.lim{[√(n+3√n)]-[(n-√n)^(1/3)]}= .求具体过程,我算出来都和
题1：
令y=[√(1+xarcsinx)-√(cosx)]/(kx²)
分子和分母同乘[√(1+xarcsinx)+√(cosx)],得：
y=[(1+xarcsinx)-(cosx)]/｛kx²[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]｝
当x→0时,[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]→2.代入上式得：
y=[(1+xarcsinx)-(cosx)]/（2kx²)
=[(1-cosx)/（2kx²)]+(arcsinx)/(2kx)
使用罗毕达法则,得：
y=[sinx/(4kx)]+1/[2k√(1-x²)]=1/(4k)+1/(2k)=3/(4k)
由于=√(1+xarcsinx)-√(cosx)和kx²是等价无穷小,所以y=1,即有k=3/4.
题2：
y=lim{[√(n+3√n)]-[√(n-√n)]}
=lim(√n){[√(1+3/√n)]-[√(1-1/√n)]}
=lim{[√(1+3/√n)]-[√(1-1/√n)]}/(1/√n)
令x=1/√n代入上式得：
y=lim{[√(1+3x)]-[√(1-x)]}/x
当n→∞时,x→0.将上式分子和分母同乘[√(1+3x)]+[√(1-x)],得：
y=lim[(1+3x)-(1-x)]/{x[√(1+3x)+√(1-x)]}
=lim(4x)/(2x)=2