高中数学会考数学题,在线等,集!加分的已知函数f(x)=ax²+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c. 1.证明函数f（x）有两个不同的零点2.若存在x属于R.使ax²+bx+a+c=0成立.试判断f(x+3)的符号,并说明理由；当b≠0

高中数学会考数学题,在线等,集!加分的已知函数f(x)=ax²+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c. 1.证明函数f（x）有两个不同的零点2.若存在x属于R.使ax²+bx+a+c=0成立.试判断f(x+3)的符号,并说明理由；当b≠0
高中数学会考数学题,在线等,集!加分的
已知函数f(x)=ax²+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c.
1.证明函数f（x）有两个不同的零点
2.若存在x属于R.使ax²+bx+a+c=0成立.试判断f(x+3)的符号,并说明理由；当b≠0时,证明关于x的方程ax²+bx+a+c=0在区间（c/a,0）和（0,1）内各有一个实根.
要完整过程,谢谢咯,小弟正在会考呢!绝对加分!
一定要验证后再给小弟说啊，否则小弟的毕业证…

高中数学会考数学题,在线等,集!加分的已知函数f(x)=ax²+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c. 1.证明函数f（x）有两个不同的零点2.若存在x属于R.使ax²+bx+a+c=0成立.试判断f(x+3)的符号,并说明理由；当b≠0
(1)∵a+b+c=0；∴x=1是ax²+bx+c=0的一个根,
假设方程ax²+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1*x2=c/a,设x1=1,则x2=c/a≠1;
所以f(x)有不同的两个零点,即(1,0),(c/a,0);
(2)（第一小问）令g(x)= ax²+bx+a+c,则g(x)可以看成是将f(x)向上平移a个单位,
由于x0∈R（原题中写x不好区分,故改为x0）.使ax²+bx+a+c =0成立,
所以x0∈(c/a,1),c/a=-(a+b)/a=(-b/a-1)>-2,所以x0+3>1,所以f(x0+3)的符号一定为正值.
（第二小问）由于方程 ax²+bx+a+c =0有实数根,所以
∆=b²−4a(a+c)= b²+4ab=b(b+4a)=b(−a−c+4a)=b(3a−c)>0; ∵3a−c>0,∴b>0;
由于g(0)= a+c=−b

很显然，本题属于函数方程的问题
第一问
∵ a+b+c=0
∴f（1）=a+b+c=0
故x=1为原一元二次方程f（x）=0 的一个实根，由一元二次方程解的性质 知道f(x)=0必有另外一个实根x=t，我们只需要证明 t≠1即可。
由未达定理，知道ax²+bx+c=0的两实数根满足

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很显然，本题属于函数方程的问题
第一问
∵ a+b+c=0
∴f（1）=a+b+c=0
故x=1为原一元二次方程f（x）=0 的一个实根，由一元二次方程解的性质 知道f(x)=0必有另外一个实根x=t，我们只需要证明 t≠1即可。
由未达定理，知道ax²+bx+c=0的两实数根满足
x1 *x2=c/a
不妨设x1=1 故x2=t= c/a ，
∵ a＞b＞c
∴c/a≠1
∴ f(x）=0存在俩个相异实根。
即函数f（x）有两个不同的零点(1,0)、(c/a,0).
第二问 设满足条件的x=x0，x1
∴ f(x0)=ax0²+bx0+a+c=0两根为x0 x1
∴ f(x1)=0
x0+ x1 =-b/a
利用a+b+c=0,a＞b＞c.
可以得到 a+b+c>3c,a+b+c<3a
∴ a>0,c<0
故x0 +x1 = -b/a > -1 (因为a>b)
-b/a = (a+c)/a =1 +c/a <1 (因为a>0,c<0，a>c)
所以 x0 +x1 ∈（-1，1）
记x1为右实根，x0为左实根
无论x0为靠近x=-1 还是靠近1，2 ∴ x0+3 > 1即x0+3 > x1
在 x>= -b/2a 时
二次函数f(x)=ax²+bx+a+c 为增函数
又 x0+3 > x1> -b/2a
∴ f（x0+3）> f(x1)=0

后面的一问
令x0 +x1 = -b/a=k （-1 存在x属于R.使ax²+bx+a+c=0成立说明一元二次方程ax²+bx+a+c=0有解
故△=b*b - 4a(a+c)
=b*b + 4ab
=a*a（λ*λ- 4λ）>=0
结合a>0,求的
-1< λ <= 0
∴ -1< -b/a <=0
注意到题设条件b≠0
∴ -a < -b<0
∴ 0< b c/a= -（a+b)/ a <-1
二次函数f(x)=ax²+bx+a+c 对称轴x=- b/2a∈(-1/2,0)或（0,1/2)
落在给定的 区间（c/a，0）和（0，1）上
又f（c/a）=a> 0(请楼主自己运用a+b+c=0变形）
f（0）=-b <0
故ax²+bx+a+c=0在（c/a,0)上有一个实根
同样的方法可证ax²+bx+a+c=0在（0，1)内也有一个实根
综上所述，命题得证。

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