谁有2010年全国初中数学初赛竞赛江西赛区试题!2009的也行

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2009的也行

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2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
　　第 一 试
　　一. 选择题（每小题 分,共42分）
　　、化简 的结果是（ ）．
　　、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
　　答案：
　　 , ,
　　,因此原式 ．
　　、 是一个等腰直角三角形, 是其内接正方形, 是正方形的对角线交点；那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．
　　、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
　　答案： ．
　　设 ,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；共计 对．
　　、设 ,且函数 与 有相同的最小值 ；
　　函数 与 有相同的最大值 ；则 的值( ).
　　、必为正数； 、必为负数； 、必为 ； 、符号不能确定．
　　答案： .
　　 , ,
　　由 ,得 ……①
　　, ；
　　由 ,得 ……②
　　②-①得, ,所以 ……③,或 ……④
　　若 ,则 ；
　　若 ,据②④, ,即 ,矛盾!
　　、若关于 的方程 没有实根,那么,必有实根的方程是（ ）．
　　、 ； 、 ；
　　、 ； 、 ．
　　答案: .
　　解:由方程 无实根,得其判别式 ,于是 ,
　　方程 的判别式分别是:
　　, , , ,
　　显然,对于满足 的每个 值,可以确保 ,但不能保证 非负,（即使得方程 无实根的 的区间与区间 都有重叠部分,而使方程 无实根的 的区间 与区间 无重叠部分）,所以 必有实根,其余方程不一定有实根.
　　、正方形 中, 分别是 上的点, 交 于 , 交 于 ；若 平分 , ；记 , ,
　　,则有（ ）.
　　、 ； 、 ；
　　、 ； 、 ．
　　答案:
　　解:由角平分线, ,即 ,又 的角分线与高重合,则 为等腰三角形, ,作 ‖ ,交 于 ,则 为 的中位线,
　　∽ , ,所以 .
　　、将 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数, 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有（ ）．
　　、 种； 、 种； 种、； 、 种．
　　答案：
　　相邻两数和为奇质数,则圆周上的数奇偶相间,于是 的两侧为 ,而 的两侧为 ；剩下两数 必相邻,且 与 之一邻接；考虑三个模块 的邻接情况,得到 种填法．
　　二、 填空题（每小题7分,共28分）
　　、若 个连续正整数之和为 ,则 的最大值是 ．
　　答案： ．
　　设 ,则 ,
　　注意 ,而 ,为使 值最大,当把 表成最接近的一对因数之积,为 ,所以 ．
　　、单位正三角形中,将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为 .
　　答案：
　　单位正三角形内切圆半径为 ,其面积为 ,而 为其中心,故 ,因此, 与 的相似比为 ,于是每个小圆面积等于 面积的 ,故四个圆面积之和为 ,因此,所求三角形剩下部分的面积为 ．
　　、圆内接四边形 的四条边长顺次为： ,则四边形的面积为 .
　　答案： .
　　由于 ,即 ,所以 与 都是直角三角形,因此,四边形面积 .
　　、在 中,适当选择+、-号,可以得到不同代数和的个数是 ．
　　答案： 个．
　　 中,有奇数三个,故其代数和必为奇数；由 可以得到绝对值 的所有奇数：这是由于 , , ,
　　, , ；以上各式通乘 ,可得 的表达式；
　　而据题意,表达式中, 及 都必须参与,那么,能得到的整数应是 加或减 ,即得到十二个正奇数 和十二个负奇数 ；因此可表出的数共计 个．
　　第 二 试
　　一、（20分）边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程 的两根,求 的值并确定直角三角形三边之长．
　　设直角边为 ,（ ）则 ,因方程的根为整数,故其判别式为平方数,设 ,
　　或 或
　　解得 (不是整数,舍去),
　　时,
　　时,
　　二、（ 分）如图,自 内的任一点 ,作三角形三条边的垂线：
　　,若 ；
　　证明： ．
　　证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直,则其两组对边的平方和相等．
　　连 ,则有 ；
　　, ；
　　三式相加得 ,
　　利用条件 ,代入上式,得 ．
　　三、（ 分）已知 为正整数,且 为有理数,证明 为整数．
　　证：因 是无理数,则 ,而
　　为有理数,所以 ,于是
　　, 因此, 为整数．