已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 05:12:16
已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
(说明:这里的a、b、a+b表示向量,|a|、|b|、|a+b|的模.用向量的平行四边形法则自己画图)
∵|b|、|a+b|且|a|、|a+b|的夹角为60°
∴由余弦定理得|b|²=|a|²+|a+b|²-2|a|•|a+b|cos60°
∵ |a|=8 ,|b|=7
∴|a+b|²-8|a+b|+15=0
∴ |a+b|=5或|a+b|=3
∵|a+b|²=5² 或 a+b|²=3²
∴|a|²+2a·b+|b|²=25 或 |a|²+2a·b+|b|²=9
∴ a•b=﹣44或 a•b=﹣52
∵ a•b=|a| |b| cos﹤a,b﹥ (向量的数量积公式)
∴ cos﹤a,b﹥=﹣44/56=﹣11/14 或 cos﹤a,b﹥= ﹣52/56=﹣13/14
故cos﹤a,b﹥=﹣11/14 或cos﹤a,b﹥=﹣13/14
实际上就是三角形三边长a=8,b=7,c不知道,但知道角B=60°
1/2=cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(15+c²)/(16c)
15+c²=8c (c-3)(c-5)=0
c=3或c=5
c=3 则cos=cosC=(a²+b²-c²)/(2ab...
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实际上就是三角形三边长a=8,b=7,c不知道,但知道角B=60°
1/2=cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(15+c²)/(16c)
15+c²=8c (c-3)(c-5)=0
c=3或c=5
c=3 则cos=cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(64+49-9)/112=102/112=51/56
c=5 则cos=cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(64+49-25)/112=88/112=11/14
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由已知,cos=a*(a+b)/(|a|*|a+b|)=1/2 ,
所以 a*(a+b)=|a|*|a+b|/2=4|a+b| ,(*)
设 x=cos ,则 a*(a+b)=a^2+a*b=64+56x ,
|a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=64+49+2*8*7x=113+112x ,
因此,由(*)得 64+56x=4√(113...
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由已知,cos=a*(a+b)/(|a|*|a+b|)=1/2 ,
所以 a*(a+b)=|a|*|a+b|/2=4|a+b| ,(*)
设 x=cos ,则 a*(a+b)=a^2+a*b=64+56x ,
|a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=64+49+2*8*7x=113+112x ,
因此,由(*)得 64+56x=4√(113+112x) ,
化简得 196x^2+336x+143=0 ,
解得 cos=x=(-336±√784)/392 ,
计算得 cos=(-336-28)/392= -13/14 ,
或 cos=(-336+28)/392= -11/14 。
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