待定系数法求函数解析式题目,来10题,求的是题目,能有三四题也可以,回答的人不要和之前的回答相同,

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 04:35:16

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虽然我不会,我还是给你找了个

是否存在常数a、b、c,使得等式1·2^2＋2·3^2＋……＋n(n＋1)^2＝* (an^2＋bn＋c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论.

【解】假设存在a、b、c使得等式成立,令：n＝1,得4＝16
(a＋b＋c)；n＝2,得22
＝
12
(4a＋2b＋c)；n＝3,得70＝9a＋3b＋c.整理得：abcabcabC2442449370,解得abc
31110
,
于是对n＝1、2、3,等式1·22＋2·32＋„＋n(n＋1)2＝nn()112
(3n2＋11n＋10)
成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立,即1·22＋2·32＋„＋k(k＋1)2＝
kk()112
(3k2＋11k＋10)；
当n＝k＋1时,1·22＋2·32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()
112
(3k2＋11k
＋10) ＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()112(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝
()()
kk1212
（3k2＋5k＋12k＋24）＝
()()
kk1212
[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10],
也就是说,等式对n＝k＋1也成立.
综上所述,当a＝3、b＝11、c＝10时,题设的等式对一切自然数n都成立.

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