设α+β=150°,求sin2α+sin2β- sinαsinβ的值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 15:39:59
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你要注意思路,这道题用常规思路解,肯定是和差化积、积化和差这么用用,但是有一点不同,就是有个sqrt(3),对sqrt(3)的处理将决定本题的成败
sin2α+sin2β-sqrt(3)sinαsinβ=(1-cos2α)/2+(1-cos2β)/2-sqrt(3)sinαsinβ
=1-(cos2α+cos2β)/2-sqrt(3)sinαsinβ
=1-cos(α+β)cos(α-β)-sqrt(3)sinαsinβ
然后如果尝试对sinαsinβ使用积化和差变成-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]是不行的,那是因为,我们无法处理cos(α- β),我们的目标是把原式化成只含有α+β的,况且sqrt(3)这个矛盾还没有解决,于是我们对sqrt(3)动刀,cos(α+β)=-sqrt (3)/2,把sqrt(3)变成-2cos(α+β)
=1-cos(α+β)cos(α-β)-sqrt(3)sinαsinβ
=1-cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)sinαsinβ=1-cos(α+β)[cos(α-β)-2sinαsinβ]
=1-cos(α+β)[cosαcosβ+sinαsinβ-2sinαsinβ]
=1-[cos(α+β)]^2=1/4

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