在△ABC中,∠ABC=3∠C,角平分线AD交BC于点D,BP⊥AD于P且交AC于E,试说明BP=1/2（AC-AB)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 22:01:20
在△ABC中,∠ABC=3∠C,角平分线AD交BC于点D,BP⊥AD于P且交AC于E,试说明BP=1/2（AC-AB)
在△ABC中,∠ABC=3∠C,角平分线AD交BC于点D,BP⊥AD于P且交AC于E,试说明BP=1/2（AC-AB)
在△ABC中,∠ABC=3∠C,角平分线AD交BC于点D,BP⊥AD于P且交AC于E,试说明BP=1/2（AC-AB)
主要利用等腰三角形性质,AP平分BE且垂直BE,由三线合一知三角形ABE为等腰三角形,P为中点,BP=1/2BE,AB=AE,则AC-AB=AC-AE=EC,又∠ABC=3∠C,∠1+∠C=∠3=∠2,可得∠1=∠C,则BE=CE,所以BP=1/2BE=1/2CE=1/2(AC-AE)=1/2(AC-AB)
延长BE到AC交于F
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵BE⊥AD
∴∠AEB=∠AEF
在△ABE和△AFE中：
（大括号）：∠BAD=∠DAC
AE=AE
∠AEB=∠AEF
∴△ABE≌△AFE（A...
全部展开
延长BE到AC交于F
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵BE⊥AD
∴∠AEB=∠AEF
在△ABE和△AFE中：
（大括号）：∠BAD=∠DAC
AE=AE
∠AEB=∠AEF
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴AB=AF BE=EF
∠ABF=∠AFB
∴AC-AB=AC-AF
=FC
设∠FBD为x，∠C为y
得：（x+y）+x=3y
2x+y=3y
2x=2y
x=y
∴∠FBD=∠C
∴BF=CF
∴2BE=CF
∴AC-AB=2BE
收起
AD是BE的垂直平分线，所以AB=AE，BP=PE，所以只要证得BE=CE，问题就得证。
角2= 角3 =角EBC +角C，又角ABC=3*角C，联立解得 角EBC=角C，即得BE=CE。
具体完善你自己做吧，这只是一个思路。
标记图中∠ABP=∠2,∠AEP=∠3
因为∠BAP=∠EAP,AP=AP,∠APB=∠APE=90度，
所以APB与△APE为全等三角形，所以AB=AE , ∠2 =∠3
∠C+∠EBD=∠3,∠ABC=∠2+∠EBD=3∠C, ∠2 =∠3
所以2∠C=∠3
2∠C=∠C+∠EBD ∠C=∠EBD
所以EC=EB
即（AC...
全部展开
标记图中∠ABP=∠2,∠AEP=∠3
因为∠BAP=∠EAP,AP=AP,∠APB=∠APE=90度，
所以APB与△APE为全等三角形，所以AB=AE , ∠2 =∠3
∠C+∠EBD=∠3,∠ABC=∠2+∠EBD=3∠C, ∠2 =∠3
所以2∠C=∠3
2∠C=∠C+∠EBD ∠C=∠EBD
所以EC=EB
即（AC-AE）=2BP
BP=1/2（AC-AE）=1/2（AC-AB)
收起