已知定义在R上的单调递减的奇函数f(x),当0≤θ≤π/2时恒有f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0成立,求t的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 09:07:51
已知定义在R上的单调递减的奇函数f(x),当0≤θ≤π/2时恒有f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0成立,求t的取值范围
已知定义在R上的单调递减的奇函数f(x),当0≤θ≤π/2时恒有f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0成立,求t的取值范围
已知定义在R上的单调递减的奇函数f(x),当0≤θ≤π/2时恒有f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0成立,求t的取值范围
f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0 在0≤θ≤π/2时恒成立
∴ f(cos²θ-2t)≥-f(4sinθ-3)在0≤θ≤π/2时恒成立
∵ f(x)是奇函数
∴f(cos²θ-2t)≥f(3-4sinθ)在0≤θ≤π/2时恒成立
∵ f(x)在R上是单调递减的函数
∴ cos²θ-2t≤3-4sinθ在0≤θ≤π/2时恒成立
∴ 2t≥cos²θ+4sinθ-3 在0≤θ≤π/2时恒成立
设M=cos²θ+4sinθ-3,则2t≥M的最大值
M=1-sin²θ+4sinθ-3
=-(sinθ-2)²+2
∵ 0≤θ≤π/2,∴ 0≤sinθ≤1
∴ sinθ=1时,M有最大值1
∴ 2t≥1
∴ t≥1/2
即t的取值范围是[1/2,+∞）
∵f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0
∴f(cos^2 θ-2t) ≥-f(4sinθ-3）
又∵f(x),是在R上的单调递减的奇函数
∴f(cos^2 θ-2t) ≥f(-4sinθ+3）
同理
-4sinθ+3≥cos^2 θ-2t
t≥-1/2(sin^2θ+4sinθ-2)
t≥-1/2(sinθ+2)...
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∵f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0
∴f(cos^2 θ-2t) ≥-f(4sinθ-3）
又∵f(x),是在R上的单调递减的奇函数
∴f(cos^2 θ-2t) ≥f(-4sinθ+3）
同理
-4sinθ+3≥cos^2 θ-2t
t≥-1/2(sin^2θ+4sinθ-2)
t≥-1/2(sinθ+2)^2+3
当0≤θ≤π/2时
sinθ∈[0,1]
因为恒有f(cos^2 θ-2t) +f(4sinθ-3）≥0成立
所以t≥max{-1/2(sinθ+2)^2+3}即可
t≥1
收起