设x1,x2是方程x^2+（a-1）x+1=0的两个实数根,当a取何值时,1/x1^2+1/x2^2取得最小值,求最小值为多少

设x1,x2是方程x^2+（a-1）x+1=0的两个实数根,当a取何值时,1/x1^2+1/x2^2取得最小值,求最小值为多少
设x1,x2是方程x^2+（a-1）x+1=0的两个实数根,当a取何值时,1/x1^2+1/x2^2取得最小值,求最小值为多少

设x1,x2是方程x^2+（a-1）x+1=0的两个实数根,当a取何值时,1/x1^2+1/x2^2取得最小值,求最小值为多少
原方程有两个实根,所以以判别式△≥0
△=（a-1）^2-4≥0解不等式得
a≤-1或a≥3
由韦达定理
x1+x2=1-a,
x1*x2=1,
所以
1/x1^2+1/x2^2
=(x1^2+x2^2)/x1^2*x2^2
=[(x1+x2)^2-2x1*x2]/(x1*x2)^2
=(1-a)^2-2
=a^2-2a-1
前面已经算出a≤-1或a≥3,所以
当a= -1或3时,有最小值为2

x1*x2=1,
x1+x2=1-a,
1/x1^2+1/x2^2
=(x1^2+x2^2)/x1^2*x2^2
=[(x1+x2)^2-2x1*x2]/(x1*x2)^2
=(1-a)^2-2
当a=1时，有最小值为-2