已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式

已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式

已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
1/(an+1)=1/(an)+1

由题意得：
∵a1=1/2,a(n+1)=an/(1+an)
∴有：a2=1/3,a3=1/4,a4=1/5......
以此类推：
可猜想：an=1/(1+n)
用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=1/2，显然猜想成立
②设n=k时也成立，即有a(k)=1/(1+k)，【如果证得a(k+1)猜想也成立就完成了】
由题意可得：

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由题意得：
∵a1=1/2,a(n+1)=an/(1+an)
∴有：a2=1/3,a3=1/4,a4=1/5......
以此类推：
可猜想：an=1/(1+n)
用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=1/2，显然猜想成立
②设n=k时也成立，即有a(k)=1/(1+k)，【如果证得a(k+1)猜想也成立就完成了】
由题意可得：
a(k+1)=a(k)/(1+a(k))
∴把假设条件a(k)=1/(1+k)代入上式得：
a(k+1)=[1/(1+k)]/{1+[1/(1+k)]}
=1/(2+k)
=1/[1+(1+k)]
∴猜想成立
∴得证

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