如何用无穷小量与无穷大量证明幂函数的导函数是其幂做系数、幂减一做指数.即证明：（如图）

如何用无穷小量与无穷大量证明幂函数的导函数是其幂做系数、幂减一做指数.即证明：（如图）
如何用无穷小量与无穷大量证明幂函数的导函数是其幂做系数、幂减一做指数.即证明：（如图）

如何用无穷小量与无穷大量证明幂函数的导函数是其幂做系数、幂减一做指数.即证明：（如图）
x^(α-1)*[(1+Δx/x)^α-1]/(Δx/x)
设(1+Δx/x)^α-1=t,ln(1+t)=αln(1+Δx/x)
原式=x^(α-1)*t/(Δx/x)=x^(α-1)*[t/ln(1+t)]*[αln(1+Δx/x)/(Δx/x)]
因为ln(1+x)~x,即lim[ln(1+x)/x]=1
所以原式=x^(α-1)*α
如果α是整数的话,可以用二项式展开,比较容易证明.