已知p是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,c是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是?（我知道当CP垂直于已知直线式,四边形PACB的面积最小,但是我不知道怎么求……）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 12:05:12
已知p是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,c是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是?（我知道当CP垂直于已知直线式,四边形PACB的面积最小,但是我不知道怎么求……）
已知p是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,c是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是?（我知道当CP垂直于已知直线式,四边形PACB的面积最小,但是我不知道怎么求……）
已知p是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,c是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是?（我知道当CP垂直于已知直线式,四边形PACB的面积最小,但是我不知道怎么求……）
由题意知△PAC≌△PBC,且两个三角形为直角三角形,其一条直角边为圆半径,另一直角边为切线长,因此,而四边形PACB面积刚好等于半径乘切线长,那切线长在什么时候最短呢?实际又可转化为,圆心到直线的距离短.因此,第一问就是问圆心到直线最短距离是多少.因此
将圆方程变为标准方程得,(x-1)²+(y-1)²=1,圆心为（1,1）,半径1
点到直线距离＝｜3+4+8｜/5=3
故切线长＝√（3＾2－1）＝2√2,故四边形PACB面积的最小值＝2√2
有没有图？
设p的坐标为（x1,y1）,圆上任意一点为Q(x2,y2),
s=[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2.]^2的最小值。
设P(x1,y1)，则3x1+4y1+8=0，y1=(-3x1-8)/4圆方程：(x-1)^2+(y-1)^2=1，C(1,1)，半径r=1。
|PC|^2=(x1-1)^2+(y1-1)^2=(x1-1)^2+((-3x1-8)/4-1)^2=(25/16*x1^2+x1/2+10
=25/16(x+4/25)^2+249/25，
设切点为Q，切线长|PQ|=√(|PC|...
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设P(x1,y1)，则3x1+4y1+8=0，y1=(-3x1-8)/4圆方程：(x-1)^2+(y-1)^2=1，C(1,1)，半径r=1。
|PC|^2=(x1-1)^2+(y1-1)^2=(x1-1)^2+((-3x1-8)/4-1)^2=(25/16*x1^2+x1/2+10
=25/16(x+4/25)^2+249/25，
设切点为Q，切线长|PQ|=√(|PC|^2-r^2)=√(25/16(x+4/25)^2+249/25-1)
=√(25/16*(x+4/25)^2+224/25)。
四边形PACB的面积S=2*1/2*|PQ|*r=√(25/16*(x+4/25)^2+224/25)，
当x=-4/25时，四边形PACB的面积S取得最小值为√224/25≈3
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