计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.

计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.

计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
平面方程两边乘以4,得z+2x+4\3y＝4,所以积分∫∫(z+2x+4\3y)ds＝∫∫4ds,接下来计算平面与三坐标轴的三个交点围成的△的面积即可.方法不唯一,比如计算四面体的体积,而原点到平面的距离可求,所以三角形的面积可求.
也可以把曲面积分化为二重积分,求出z对x,y的偏导数,ds＝√(61)/3dxdy,∑在xoy面上的投影区域由x＝0,y＝0,x\2+y\3=1围成.
所以∫∫(z+2x+4\3y)ds＝∫∫4ds＝∫∫4×√(61)/3dxdy＝4×√(61)/3×1/2×2×3＝4√(61)