这道二重积分题怎么理解?第二步怎么来的?如图~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 18:21:01
这道二重积分题怎么理解?第二步怎么来的?如图~
这道二重积分题怎么理解?
第二步怎么来的?如图~
这道二重积分题怎么理解?第二步怎么来的?如图~
第二步用的是分部积分法：
∵原式=2π∫(0,1)pln(1+p²)dp (∫(0,1)表示从0到1积分)
=π∫(0,1)ln(1+p²)d(1+p²)
在分部积分公式中,设u=ln(1+p²),dv=d(1+p²)
则du=2pdp/(1+p²),v=1+p²
∴由分部积分公式∫udv=uv-∫vdu,得：
原式=π([(1+p²)ln(1+p²)]|(0,1)-2∫(0,1)pdp)
=π([(1+p²)ln(1+p²)-p²]|(0,1)
=π(2ln2-1)
是用的分部积分法
∫pln(1+p^2)dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[(p^2/2)*（2p/(1+p^2)）]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[p^3/(1+p^2)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[(p^3+p-p)/(1+p^2)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[p-p/(p^2+1)]d...
全部展开
是用的分部积分法
∫pln(1+p^2)dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[(p^2/2)*（2p/(1+p^2)）]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[p^3/(1+p^2)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[(p^3+p-p)/(1+p^2)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫[p-p/(p^2+1)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫pdp+∫[p/(p^2+1)]dp
=(p^2/2)*ln(1+p^2)-∫pdp+1/2∫[1/p^2+1]d(p^2+1)
=(1/2+p^2/2)ln(1+p^2)-∫pdp
收起
此题计算运算量较大,但思路应该很清晰的,先用凑微分法:将1+p^2视为中间变量,可凑成lntdt形的积分形式,再用分部积分法:令u=lnt ,v=t,根据定积分的分部积分公式即可得到第二步.