勾股定理怎么了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 18:09:39
勾股定理怎么了
勾股定理怎么了
勾股定理怎么了
勾股定理是一个基本几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.勾股定理是余弦定理的一个特例.勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一.“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式.勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c).(3,4,5)就是勾股数.也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那a^2+b^2=c^2 .
文字表述：在任何一个的直角三角形（Rt△）中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）.
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
.[1]
推广定理：勾股定理的逆定理.
依据
几个文明古国都先后研究过这条定理,远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,他们还知道许多勾股数组.古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时,也应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一.三千多年前,周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”,它被记载于《周髀算经》中.[2]
《周髀算经》
《周髀算经》中关于勾股定理的证明：
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一.”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方）,圆出于方（圆形面积=外接正方形×圆周率÷4）,方出于矩（正方形源自两边相等的矩）,矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）.
《周髀算经》证明步骤
“故折矩①,以为句广三,股修四,径隅五.”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩,矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）.“
“既方之,外半其一矩②,环而共盘,得成三四五.”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方）,根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺,实际上用作直角三角）,将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形.“
两矩共长③二十有五,是谓积矩.”：此为验算——勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和.因三角形为长方形面积的一半,可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积,所以 勾方+股方=弦方.
注意：
① 矩,又称曲尺,L型的木匠工具,由长短两根木条组成的直角.古代“矩”指L型曲尺,“矩形”才是“矩”衍生的长方形.
② “既方之,外半其一矩”此句有争议.清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”,而之前版本多为“既方之外半其一矩”.经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究,“既方之,外半其一矩”更符合逻辑.
③ 长指的是面积.古代对不同维度的量纲比较,并没有发明新的术语,而统称“长”.赵爽注称：“两矩者,句股各自乘之实.共长者,并实之数.
由于年代久远,周公弦图失传,传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）.所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话）,后来赵爽才给出证明.其实不然,摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》（即赵爽弦图）——“句股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦.案：弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实.”注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”,“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明,于是他给出了新的证明.[3]
用赵爽弦图证明勾股定理的数学描述为：
ABDE为AB=BD=DE=AE=C的正方形（右图
赵爽弦图 证明示意图
）,很显然：正方形ABDE 的面积：
=（4个直角三角形的面积）+中间方孔的面积
∵
∴
（a：勾,b：股,c：弦）
简单来说
a 是3,b 是 4,c不知道.3²+4^2=3x3+4x4=9+16=25 25就是c的平方,再用根号,那c的长就是5.