如图,点P为△ABC的内心,延长AP叫△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD*=ABXAE,求证：DE是切线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:04:18
如图,点P为△ABC的内心,延长AP叫△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD*=ABXAE,求证：DE是切线
如图,点P为△ABC的内心,延长AP叫△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD*=ABXAE,求证：DE是切线
如图,点P为△ABC的内心,延长AP叫△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD*=ABXAE,求证：DE是切线
证明：连接DC,DO并延长交⊙O于F,连接AF．
∵AD2=AB•AE,∠BAD=∠DAE,
∴△BAD∽△DAE,
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ACB=∠E,BC‖DE,
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC,
又∵∠CAF=∠CDF,
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°,
故DE是⊙O的切线．
证明：连接OD
P为三角形ABC内切圆心，所以∠BAD=∠CAD
弧BD=弧CD
所以OD⊥BC
在△ABD和△ADE中
∠BAD=∠DAE
AD²=AB×AE，即AB/AD=AD/AE
所以△ABD∽△ADE，∠ADB=∠AED
因为∠ADB和∠ACB所对都是AB弧，所以∠ADB=∠ACB
因此∠AED=∠ACB，...
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证明：连接OD
P为三角形ABC内切圆心，所以∠BAD=∠CAD
弧BD=弧CD
所以OD⊥BC
在△ABD和△ADE中
∠BAD=∠DAE
AD²=AB×AE，即AB/AD=AD/AE
所以△ABD∽△ADE，∠ADB=∠AED
因为∠ADB和∠ACB所对都是AB弧，所以∠ADB=∠ACB
因此∠AED=∠ACB，BC∥DE
所以OD⊥DE
DE为圆O切线
收起
连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．
∵P点为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD2=AB•AE，即
AD
AB
=
AE
AD
，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
全部展开
连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．
∵P点为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD2=AB•AE，即
AD
AB
=
AE
AD
，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切线．
收起