已知OPQ是半径为1圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB平行OQ,OP于AB交于点B,AC平行OP,OQ与AC交于点C.当θ=π/3时使平行四边形ABOC的面积最大,求最大面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 11:51:42
已知OPQ是半径为1圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB平行OQ,OP于AB交于点B,AC平行OP,OQ与AC交于点C.当θ=π/3时使平行四边形ABOC的面积最大,求最大面积
已知OPQ是半径为1圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB平行OQ,OP于AB交于点B,AC平行OP,OQ与AC交于点C.当θ=π/3时使平行四边形ABOC的面积最大,求最大面积
已知OPQ是半径为1圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB平行OQ,OP于AB交于点B,AC平行OP,OQ与AC交于点C.当θ=π/3时使平行四边形ABOC的面积最大,求最大面积
过A做AD垂直OQ于D,设x=CD；
因为AC平行于OP,所以∠ACD=∠BOC=π/3=60°,
所以AD=√3x,
则OD=√（1-AD²）=√（1-3x²）；
OC=OD-CD=√（1-3x²）- x；
则平行四边形ABOC的面积S=OC*AD=[√（1-3x²）- x]*√3x=√3 x² [√(1/x²-3) - 1];
设y=√(1/x²-3),则x²=1/(y²+3);
所以
S=√3 *1/(y²+3)*(y-1)
=√3 *(y-1)/(y²+3)
=√3 *(y-1)/(y²-1+4)
=√3/[(y+1)+4/(y-1)]
=√3/[(y-1)+4/(y-1)+2]
因为 (y-1)*4/(y-1)=4 为常数
所以 当(y-1)=4/(y-1) 时,即 y=3 时
S取最大=√3/[(y-1)+4/(y-1)+2]
=√3/[2+4/2+2]
=√3/6
当A为中点时，面积最大S=（根号3）/8有过程吗？不好意思啊，我发现我算错了，之前算太急了 S=（根号3）/6 设平行四边形ABOC两邻边为x,y 则S=xysin60° 在△ABO中∠ABO=120°，用余弦定理得 cos120°=（x^2+y^2-1）/2xy 即x^2+y^2-1=-xy 因为x^2+y^2≥2xy 即-xy=x^2+y^2-1≥2xy-1 所以xy≤1/3...
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当A为中点时，面积最大S=（根号3）/8
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