过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程和线段AB长过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程

过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程和线段AB长过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程
过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程和线段AB长
过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程和线段AB的长度

过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程和线段AB长过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程
设直线方程为 y=kx+b .
由于直线过（-1,1）,所以 1=-k+b ,那么 b=k+1 .
所以直线方程为：y=kx+k+1 .
设直线与椭圆的交点为A（X1,y1） 和 B（X2,y2) .
由于点p是A、B 的中点,所以：
X1+X2=-2 ； ……式1
y1+y2=2 ……式2
因为点A、B在椭圆上 ,所以：
（x1）^2/4+（y1）^2/2=1 ……式3
（ x2）^2/4+（y2）^2/2=1 ……式4
因为点A、B在直线上,所以：
y1=kx1+k+1 ……式5
y2=kx2+k+1 ……式6
将式5带入式3 和将式6带入式4 ,得：
（2k^2 +1) *(X1)^2 +4*k(k+1)X1+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式7
（2k^2 +1) *(X2)^2 +4*k(k+1)X2+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式8
将式1带入式8,得：
（2k^2 +1) *(X1 +2)^2 -4*k(k+1)（X1+2）+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式9
式9 减去 式7 ,得：
4（k^2 +1) （X1 +1）-8k（k+1）（X1 +1）=0 ……式10
由式10,得：
4（X1 +1）（1-2k-K^2)=0
那么,
X1=-1
或 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 .
如果 X1=-1 ,那么由式1 知：X2=-1 .
那么由式3得：y1= —根号1.5 或 y1=根号1.5
由式4地：y2= —根号1.5 或 y2=根号1.5
因为由式2知道 y1+y2=2 ,那么以上y1 和y2的取值都不能使y1+y2=2 成立.
所以 X1=-1 不成立.
由上面求得 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 ：
将直线方程y=kx +（k+1）带入椭圆方程 x^2/4+y^2/2=1,得：
（2k^2 +1) *(X)^2 +4*k(k+1)X+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式11
式11有两个不同的解,那么 （4*k(k+1)）^2 - 4（2k^2 +1)（2*(k+1)^2 -4）>0
将k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 带入上述不等式 ,都满足.
所以 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2
这样带入方程y=kx+k+1 ,就可以得到直线方程.
直线方程得到了,与椭圆方程x^2/4+y^2/2=1联立,可以求出点A和B .这样线段AB的长度就知道了.

∵A、B在椭圆上，∴可设A、B的坐标分别是A（2cosa，√2sina），B（2cosb，√2sinb）。
依题意，有：2cosa＋2cosb＝－2，√2sina＋√2sinb＝2，
∴2cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝－1，√2sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝1
两式相除，得：（2/√2）cot［（a＋b）/2］＝－1，得：cot［（a...

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∵A、B在椭圆上，∴可设A、B的坐标分别是A（2cosa，√2sina），B（2cosb，√2sinb）。
依题意，有：2cosa＋2cosb＝－2，√2sina＋√2sinb＝2，
∴2cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝－1，√2sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝1
两式相除，得：（2/√2）cot［（a＋b）/2］＝－1，得：cot［（a＋b）/2］＝－√2/2。
∴AB的斜率k＝（√2sina－√2sinb）/（2cosa－2cosb）
＝2√2sin［（a－b）/2］cos［（a＋b）/2］/｛－4sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）］｝
＝（－√2/2）cot［（a＋b）/2］＝（－√2/2）×（－√2/2）＝1/2。
∴AB的方程是：y－1＝k（x＋1），即：y－1＝（x＋1）/2，也即：x－2y＋1＝0。
由2cosa＋2cosb＝－2，√2sina＋√2sinb＝2，
得：cosa＋cosb＝－1，sina＋sinb＝√2，两式平方后相加，得：
2＋2（cosacosb＋sinasinb）＝3，∴cos（a－b）＝1/2，∴a－b＝60°，∴（a－b）/2＝30°
于是：
｜AB｜^2＝（2cosa－2cosb）^2＋（√2sina－√2sinb）^2
＝4｛sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］｝^2＋2｛sin［（a－b）/2］cos［（a＋b）/2］｝^2
＝4｛sin［（a＋b）/2］sin30°｝^2＋2｛sin30°cos［（a＋b）/2］｝^2
＝｛sin［（a＋b）/2］｝^2＋（1/2）｛cos［（a＋b）/2］｝^2
＝｛1＋（1/2）cot^2［（a＋b）/2］｝/｛1＋cot^2［（a＋b）/2］｝
＝［1＋（1/2）（1/2）^2］/［1＋（1/2）^2］＝9/10。
∴｜AB｜＝3√10/10。

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