已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2 证明Sn

已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2 证明Sn
已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）
（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项
Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]
Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2
证明Sn

已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2 证明Sn
你看看,对不对!

（1）两边取倒数，1/a(n+1)=1/an +2.
故{1/an}以1/a1=2为首项，以d=2为公差的等差数列，则1/an=2n,∴an=1/2n
(2)an*a(n+1)=(1/2n)*[1/2(n+1)] =1/[2n(2n+1)]
an²=1/4n²
∵1/[2n(2n+1)]<1/[2n*(2n)] ∴an*a(n+1)<...

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（1）两边取倒数，1/a(n+1)=1/an +2.
故{1/an}以1/a1=2为首项，以d=2为公差的等差数列，则1/an=2n,∴an=1/2n
(2)an*a(n+1)=(1/2n)*[1/2(n+1)] =1/[2n(2n+1)]
an²=1/4n²
∵1/[2n(2n+1)]<1/[2n*(2n)] ∴an*a(n+1)an²=1/(4n²）<1/[4n(n-1)]=1/4[1/(n-1) - 1/n](n≥2）
a1²=1/4
∴当n≥2时，Tn<1/4 + 1/4(1-1/2 +1/2-1/3 +...+1/(n-1) -1/n)<1/4 +1/4 (1- 1/n)=1/2 - 1/4n.
当n=1,时T1=1/2 -1/4=1/4 .... (n=1的时候题目竟然不成立，检查一下题目这里题目有点小问题）
∴综上，Sn

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∵a(n+1)=f[an]=an/(2an +1)，易知an=0满足题设，以下假设an≠0，
上式可写成：
1/a(n+1)=2+1/an，即：
1/a(n+1) - 1/an = 2，这是公差为2，公比1/a1=2的等差数列：
1/an = 1/a1 + 2(n-1) = 2n，即：
an= 1/2n
由上可知：an > 0，
∴...

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∵a(n+1)=f[an]=an/(2an +1)，易知an=0满足题设，以下假设an≠0，
上式可写成：
1/a(n+1)=2+1/an，即：
1/a(n+1) - 1/an = 2，这是公差为2，公比1/a1=2的等差数列：
1/an = 1/a1 + 2(n-1) = 2n，即：
an= 1/2n
由上可知：an > 0，
∴a1^2 + a^2 ≥ 2 a1a2
又∵an≠a(n+1)，上式不能取等号，有：
a1^2 + a2^2 ＞ 2 a1a2
a2^2 + a3^2 ＞ 2 a2a3
a3^2 + a4^2 ＞ 2 a3a4
....
[a(n-1)]^2 + [a(n)]^2 ＞ 2 a(n-1)a(n)
a1^2 + [a(n)]^2 ＞ 2 a1a(n)
上述各式相加：
2Tn ＞ 2[Sn - ana(n+1) + a1a(n)]
又∵a1an-ana(n+1)=an[a1-a(n+1)]，而an=1/2n >0,
a1-a(n+1)=1/2 - 1/2(n+1) > 0
因此：Tn > Sn
又∵[an]^2 = 1/4n^2 ＜ 1/[4n(n-1)] = 1/4 * [1/(n-1) - 1/n] (n>1)
因此：Tn ＜ a1^2 + 1/4 * [1-1/2+1/2-1/3+......+1/(n-1) - 1/n]
= 1/4 + 1/4 * [1- 1/n]
=1/4* [2 - 1/n] = 1/2 - 1/4n
综上： Sn

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应该很容易证明1/a【n],是等差数列吧，a[n]=1/(2n），下面的用数学归纳法证明

解

见图

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