已知直线y=kx+2与椭圆x2+4y2=4交与AB两点 求弦AB中点M的轨迹方程

已知直线y=kx+2与椭圆x2+4y2=4交与AB两点 求弦AB中点M的轨迹方程
已知直线y=kx+2与椭圆x2+4y2=4交与AB两点 求弦AB中点M的轨迹方程

已知直线y=kx+2与椭圆x2+4y2=4交与AB两点 求弦AB中点M的轨迹方程
将直线方程代入椭圆：x^2+4(kx+2)^2=4
x^2(4k^2+1)+16kx+12=0,设其根为x1,x2
则A(x1,kx1+2),B(x2,kx2+2)
记M(x,y),有
x=(x1+x2)/2=-8k/(4k^2+1)
k=(y-2)/x代入上式即得M的方程：x=-8(y-2)/[x(4(y-2)^2/x^2+1)]
4(y-2)^2+x^2+8(y-2)=0
即 x^2+4(y-1)^2=4
轨迹为椭圆