a1=1 an=2an-1+2n 求a2.a3 求证an/2n是等差数列 求数列an的前n项之和Sn

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 20:22:17
a1=1an=2an-1+2n求a2.a3求证an/2n是等差数列求数列an的前n项之和Sna1=1an=2an-1+2n求a2.a3求证an/2n是等差数列求数列an的前n项之和Sna1=1an=2

a1=1 an=2an-1+2n 求a2.a3 求证an/2n是等差数列 求数列an的前n项之和Sn
a1=1 an=2an-1+2n 求a2.a3 求证an/2n是等差数列 求数列an的前n项之和Sn

a1=1 an=2an-1+2n 求a2.a3 求证an/2n是等差数列 求数列an的前n项之和Sn
an =2a[n-1]+2^n ①
a1=1
a2=2a1+2^2=2+4=6
a3=2a2+2^3=20
an=2a(n-1)+2^n
二边同除以2^n
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
即an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1
所以,{an/2^n}是一个首项是a1/2=1/2,公差是1的等差数列.
an/2^n=1/2+(n-1)*1
即an=2^n*(n-1/2)=n*2^n-2^(n-1)
Sn=1*2+2*2^2+...+n*2^n-(1+2+2^2+...+2^(n-1))
设Tn=1*2+2*2^2+...+n*2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3+...n*2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2^2+2^3+2^n-n*2^(n+1)=2(2^n-1)/(2-1)-2n*2^n=2*2^n-2-2n*2^n=(2-2n)*2^n-2
即Tn=2-(2-2n)*2^n
所以,Sn=2-(2-2n)*2^n-1*(2^n-1)/(2-1)
=3-(1-2n)*2^n