四棱柱A1B1C1D1-ABCD中 底面ABCD为边长为2的菱形 侧棱长为3 且∠B1BA=∠B1BC=∠ABC=60°1.求证：AC⊥平面B1BDD1；2.求BC1与平面ABCD所成角的正弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:20:48
四棱柱A1B1C1D1-ABCD中 底面ABCD为边长为2的菱形 侧棱长为3 且∠B1BA=∠B1BC=∠ABC=60°1.求证：AC⊥平面B1BDD1；2.求BC1与平面ABCD所成角的正弦值
四棱柱A1B1C1D1-ABCD中 底面ABCD为边长为2的菱形 侧棱长为3 且∠B1BA=∠B1BC=∠ABC=60°
1.求证：AC⊥平面B1BDD1；
2.求BC1与平面ABCD所成角的正弦值
四棱柱A1B1C1D1-ABCD中 底面ABCD为边长为2的菱形 侧棱长为3 且∠B1BA=∠B1BC=∠ABC=60°1.求证：AC⊥平面B1BDD1；2.求BC1与平面ABCD所成角的正弦值
（1）连接AC、BD交于E,则AC⊥BD（菱形对角线性质）
连接B1A、B1C,易知⊿ABB1≌⊿CBB1,则B1A=B1C
连接B1E,显然E为AC中点,则AC⊥B1E（三线合一）
又因BD交B1E于平面B1BDD1
则AC⊥平面B1BDD1
（2）在⊿ABB1中,由余弦定理易知B1A=√7
在RT⊿AEB1中,由勾股定理易知B1E=√6
在RT⊿AEB中,由勾股定理易知BE=√3
在⊿BB1E中,因BE^2+B1E^2=BB1^2,则由勾股定理知B1E⊥BE（BD）
由（1）知AC⊥平面B1BDD1
而B1E⊂平面B1BDD1
则B1E⊥AC
又AC交BD于平面ABCD
则B1E⊥平面ABCD
连接AD1,易知BC1//AD1
则BC1与平面ABCD所成角即AD1与平面ABCD所成角
过D1作D1H//B1E交BD延长线于H,显然D1H⊥平面ABCD
连接AH,则AD1与平面ABCD所成角为∠D1AH（令为θ）
在⊿ADD1中,易知∠ADD1=180°-60°=120°（等角,互补）
由余弦定理知AD1=√19
而易知EHD1B1为矩形
则D1H=B1E=√6
在RT⊿AHD1中,由三角函数定义知sinθ=D1H/AD1=√114/6