一根长度为l的均匀细棒 ,能在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动.现使棒从水平位置自由下摆,求摆动到竖直位置所用时间.此题好像不能当作单摆处理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 20:24:32
一根长度为l的均匀细棒 ,能在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动.现使棒从水平位置自由下摆,求摆动到竖直位置所用时间.此题好像不能当作单摆处理
一根长度为l的均匀细棒 ,能在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动.现使棒从水平位置自由下摆,求摆动到竖直位置所用时间.
此题好像不能当作单摆处理
一根长度为l的均匀细棒 ,能在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动.现使棒从水平位置自由下摆,求摆动到竖直位置所用时间.此题好像不能当作单摆处理
求时间可以利用角动量L与力矩M之间的关系
dL=Mdt；则dt=dL/M;
当杆与水平方向夹角为θ时,重力力矩为M=mglcosθ/2
杆的动能为E=mglsinθ/2=iw^2/2 (w为角速度)
L=wi (i是对转轴的转动惯量,i=ml^2/3)
解得L=i√(3gsinθ/l)
则dL=i√(3g/l)[cosθ/2√sinθ]dθ
则dt=dL/M
=[(i√(3g/l)/mgl)/√sinθ]dθ
=√(l/3g)[dθ/√sinθ]
对dθ/√sinθ,θ从0到π/2积分,再乘上前面的系数√(l/3g)就是时间t.
对于这个积分∫dθ/√sinθ我积了一会,感觉不是很好做,因为快考试了,
所以有点舍不得时间,请见谅.
顺便说一下,我看过类似这种关于杆的问题,没有一个要求求出这种时间的,
这可能暗含着一个问题,就是最后的积分是不可积的,假如可积的话,
与么关于单摆的公式就用不着了.我们知道,单摆的公式我们是用近似的方
法得到的,必须角度很小才行,而对于普遍的情况,显然是不能都那样处理的.
所以,我觉得不要花太多的时间去积这个分,它很可能不可积.
先分析木棒的受力，木棒以支点转动的转动惯量J=0.25ml²。当然，假设此时木棒下落已与水平方向呈θ的角度；那么，棒受到自身重力，重力矩M=0.5mglcosθ，角加速度B=M/J=2gcosθ/l，dB=(2g/l)dcosθ=(-2gsinθ/l)dθ。
此模型等价于：求一长度为l/2的细线做单摆运动的1/4周期。
周期公式证明如下：
设夹角a 线长l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小时sin(a)=a
g*a/l...
全部展开
此模型等价于：求一长度为l/2的细线做单摆运动的1/4周期。
周期公式证明如下：
设夹角a 线长l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小时sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 这是最简单的常微分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2π/w=2π*(l/g)^1/2
代入以上公式得t=T/4=π²√2gl /4g
收起
在某时刻设杆转过了θ角，此时杆受到的力矩为 M（θ）=0.5mglcosθ,
杆相对端点的转动惯量为J=（ml^2）/3,(公式为 ∫r*rdm=∫r*r*s*dr定积分，s为线密度)
于是角速度的加速度β=M/J=1.5gcosθ/l,
因为β=dw/dt, 而角速度w=dθ/dt,
所以θ对t的二次微分d(dθ/dt)/dt=β=1.5gcosθ/l，
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在某时刻设杆转过了θ角，此时杆受到的力矩为 M（θ）=0.5mglcosθ,
杆相对端点的转动惯量为J=（ml^2）/3,(公式为 ∫r*rdm=∫r*r*s*dr定积分，s为线密度)
于是角速度的加速度β=M/J=1.5gcosθ/l,
因为β=dw/dt, 而角速度w=dθ/dt,
所以θ对t的二次微分d(dθ/dt)/dt=β=1.5gcosθ/l，
结合边界条件θ(0)=0,θ'(0)=0解此二次微分方程，可得θ=θ(t).代入θ=π/2，得解。
收起