在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 22:01:30
在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最大?
在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最大?
在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最大?
设对角线为a,对角线与一边夹角为w,则变长为acosw和asinw
周长=2acosw+2asinw=2根号2sin(w+π/4) 最大值为w取π/4时 为2根号2
面积=a^2coswsinw=1/2a^2sin2w 最大值为w取π/4时 为1/2a^2
换言之,对角线长度相同时,正方形的面积和周长最大
设对角线长a，对角线夹角A，对角线与边夹角为B。
周长=2a（sinB+cosB），B=45°时最大，正方形。
面积=（1/2)* a^2 sinA，C=90°时最大，正方形。
设对角线长为2a,夹角为θ，则知一边长为
2a*sin(θ/2)另一边长为2a*cos(θ/2)
则
矩形面积S=2a*sin(θ/2)*2a*cos(θ/2)=2a^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]=2a^2*sinθ
又0≤sinθ≤1,当且仅当sinθ=1,θ=90°时
有Smax=2a^2
此时矩行为正方形
矩形周长C=2a...
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设对角线长为2a,夹角为θ，则知一边长为
2a*sin(θ/2)另一边长为2a*cos(θ/2)
则
矩形面积S=2a*sin(θ/2)*2a*cos(θ/2)=2a^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]=2a^2*sinθ
又0≤sinθ≤1,当且仅当sinθ=1,θ=90°时
有Smax=2a^2
此时矩行为正方形
矩形周长C=2a*sin(θ/2)+2a*cos(θ/2)
=2a[sin(θ/2)+cos(θ/2)]
=2√2*asin(θ/2+45°)
又0≤sin(θ/2+45°)≤1,
当且仅当sin(θ/2+45°), θ/2+45°=90°,θ=90°时
有Cmax=2√2*a
此时矩形为正方形
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