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第5期有效学案参考答案
第5课时 12.3等腰三角形(1)
【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高.
【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC.
【问题1】证明：∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC．
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
∴∠OAB＝∠OAC．
∵AB＝AC，∴AO⊥BC .
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第5期有效学案参考答案
第5课时 12.3等腰三角形(1)
【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高.
【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC.
【问题1】证明：∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC．
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
∴∠OAB＝∠OAC．
∵AB＝AC，∴AO⊥BC .
【问题2】设∠ACD＝α，则∠EDC＝α，∠A＝∠AED＝2α，
∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α．
在△ABC中，由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°，
∴α＝22.5°．∴∠A＝2α＝45°.
1．D. 2．C.
3．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B．
∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD．
∴∠B＝∠EAD．∴AD‖BC.
4．105°.
5．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝35°．
在△ABC中，∠BAC＝180°－35°×2＝110°．
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC．∴∠DAC＝∠C＝35°．
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝110°－35°＝75°.
6．证法一：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．
又∵AC＝BD，
∴△PAC≌△PBD(SAS)．
∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC．
证法二：过点P作PE⊥AB于点E．
∵PA＝PB，PE⊥AB．∴AE＝BE．
∵AC＝BD．∴CE＝DE．
∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC.
7．设∠C＝α，则∠B＝∠CAD＝α，∠BDA＝∠BAD＝2α，于是α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°．故∠ADB＝72°.
8．此题分三种情况．
(1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时，如图①，顶角是80°，从而两个底角是50°，50°；
(2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时，如图②，顶角是50°，从而两个底角是65°，65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时，如图③，顶角是130°，从而两个底角是25°，25°．综上所述，三个角的度数为80°，50°，50°或50°，65°，65°或130°，25°，25°.

9．（1）∵DA= DC，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠CDB=60°．
∵DB=DC，∴∠B=∠DCB=60°，∴∠ACB=90°；
（2）∠ACB=90°；
（3）不论∠A等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°.
10．B.
11．证明：连接DE，DF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵BD＝CF，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD(SAS)．
∴DE＝DF．∵EG＝GF，∴DG⊥EF．
第6课时 12.3等腰三角形(2)
【检测1】D.
【检测2】证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC；
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”.
【问题1】已知：如图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC＝2∠B．
求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵∠DAC＝2∠B，又∵∠DAC＝∠B＋∠C，
∴∠B＝∠C．∴△ABC是等腰三角形
【问题2】∵BD⊥EF，
∴∠F＋∠FCD＝90°，∠B＋∠E＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵∠FCD＝∠ACB,∴∠B＝∠FCD.
∴∠E＝∠F.∴AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形.
1．C. 2．2cm.
3．∵PD‖OB，∴∠DPO＝∠BOC．
∵∠BOC＝∠AOC，∴∠DPO＝∠AOC．
∴DP＝DO，即△DOP是等腰三角形.
4．3.
5．(1)证明：∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°．
∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝30°．∴∠BAC＝∠DBA．∴AD＝BD；
(2)在△PAB中，∠BPA＝180°－ ＝135°.
6．证法一：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵DE⊥BC，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°.
∴∠BDE＝∠F．
∵∠BDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD．
证法二：过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HAB＝∠HAC．
∵FE⊥BC，AH⊥BC，∴FE‖AH．
∴∠HAC＝∠F，∠HAB＝∠ADF．
∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD.
7．连接CD．∵AD＝BC，AC＝BD，DC＝CD．
∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．∴OD＝OC.
8．6.
9．证明：在DC上截取DE＝DB，连接AE．则AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠C＝∠EAC．
∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB.
10．D.
11．(1)证明：∵AB＝BA，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴∠EAB＝∠EBA．∴AE＝BE.
(2)∵∠AEC＝45°，∠C＝90°，∴∠CAE＝45°．
∴∠CAE＝∠CEA．∴CE＝AC＝1.
第7课时 12.3等腰三角形(3)
【检测1】相等，60；等边三角形，60，60.
【检测2】一，三，作图略.
【问题1】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．
又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．
∴△ADE是等边三角形．
【问题2】DE=DB，理由：∵CD=CE，∴∠E=∠EDC．
又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°．
又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．
1．150m. 2．B.
3．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°．
∵AE＝AD，∴∠ADE＝ ×(180°－30°)＝75°．
∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝15°.
4．4. 5．D.
6．∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形．
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°．
∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝ ∠APQ＝30°．
同理，∠CAQ＝30°．
∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝30°＋60°＋30°＝120°.
7．（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC.
又∵BE＝CD．
∴△BCE≌△CAD(SAS)．
∴CE＝AD．
（2）由（1）得∠ECB＝∠DAC．
∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°.
8．证明：如图，延长AE到M，使EM＝AB，连接DM．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，且AB＝AC．∴EM＝AC．
∵CD＝AE，∴CD＋AC＝AE＋EM．即AD＝AM．
∴△ADM是等边三角形．
∴DA＝DM，且∠M＝60°．
在△DAB和△DME中，

∴△DAB≌△DME(SAS)．∴DB＝DE.

9．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°．
于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB.
(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．
∵CA＝CD，∠ACG＝∠DCH＝60°．
∴△ACG≌△DCH(ASA)．
∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．
∴△CGH是等边三角形.
10．B.
11．证明：(1)∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°.
∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝ ∠BCD－∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°．
∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．
(2)∵AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC，∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ．
第8课时 12.3等腰三角形(4)
【检测1】一半.
【检测2】4cm.
【问题1】连接AD．∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝60°．从而∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE.由∠B＝30°得AB＝2AD.
∴AB＝4AE，BE＝3AE．
∴AE∶EB＝1∶3.
【问题2】有触礁的危险．
过点P作PC⊥AB，垂足为点C．
∵∠BPA＝∠PBC－∠A＝15°，
∴∠BPA＝∠A，∴AB＝PB＝15×2＝30．
在Rt△PBC中，PC＝ PB＝15海里＜18海里.
故不改变方向，继续向前航行有触礁的危险.
1．12. 2．4cm2 .
3．连接MA，∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA＝12.
且∠AMC＝2∠B＝30°．∴AC＝ AM＝6(cm).
4．3cm.
5．∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
在Rt△CDE中，DC＝2DE＝10．
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC＝10．∴∠DAC＝∠C＝30°．
于是∠BAD＝120°－30°＝90°．
在Rt△BAD中，BD＝2AD＝20．
故BC＝BD＋DC＝20＋10＝30(cm).
6．∵△ABC是等边三角形，BD为中线，
∴∠ACB＝60°，于是∠DBC＝30°．∴DC＝ BC．
∵ DE＝DB，∴∠E＝∠DBE＝30°.
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°．
∴DC＝CE. ∴CE＝ BC．
7．过点P作PC⊥OB于点C．
∵PE⊥OA，OP平分∠AOB，∴PE＝PC．
∵PD‖OA，∴∠OPD＝∠POA．
∵∠POB＝∠POA，∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD．
∴∠PDC＝∠AOB＝30°.
又∵OD＝4cm，∠PCD＝90°，
∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm.
8．这个命题是正确的．
已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC．
求证：∠BAC＝30°．
证明：延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．由线段的垂直平分线的性质得AB＝AD．
∵AB＝2BC，BD＝2BC．
∴AB＝BD．∴AD＝AB＝BD．
即△ABD是等边三角形．
∴∠B＝60°．∴∠BAC＝30°.

9．(1)当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．即t＝ (3－t)，t＝1(s)；
(2)当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．即3－t＝ t，t＝2(s)．
故当t＝1 s或t＝2 s时，△PBQ是直角三角形.
10．225a. 提示：过点B作BD⊥AC，垂足为D．则∠BAD＝30°，BD＝ AB＝15m.
11．(1)如图2；
(2)∵l垂直平分AB，
∴∠EDB＝90°，EA＝EB．∴∠EBA＝∠A＝30°．
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°．
∴∠EBC＝∠EBD＝30°．∴DE＝CE＝ BE．
又∵∠F＝90°－∠ABC＝30°，
∴EF＝2CE．∴EF＝2DE．

12．3测试题
基础巩固
1．C．2．B．3．B．4．C．5．B．
6．B．
提示：设∠DCA＝α，则∠BCA＝∠A＝2α.
在△DAC中，α＋2α＋120°＝180°，解得α＝20°．
在△ABC中，∠B＝180°－4α＝100°．
7．480. 8．50°或80°. 9．15cm.
10．80．
提示：△ABC≌△ADE．
于是∠EAD＝∠CAB，∠EAC＝∠DAB．△ACE是等腰三角形．
11．在△ADE中，
∠DAE＝180°－(60°＋70°)＝50°．
∵CA＝CD，∠ADE＝60°，
∴∠DAC＝60°．∴∠EAC＝60°－50°＝10°．
∵BA＝BE，∠AED＝70°，
∴∠BAE＝70°．
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝70°＋10°＝80°．
12．(1)∵BF＝CE，∴BC＝EF．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B＝∠E．
∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF.
(2)由第(1)问可知∠GFC＝∠GCF，∴GF＝GC．
13．证明：连接FA，
∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC.
于是∠FAC＝∠C＝30°，∠BAF＝90°．
在Rt△BAF中得，∵BF＝2FA．∴BF＝2CF．
14．证明：∵△ABC和△AQP都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠QAP＝60°．∴∠BAQ＝∠CAP．
∵AB＝AC，AQ＝AP，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)．
∴∠ACP＝∠B＝60°＝∠BAC．∴AB‖PC．
15．过点D作DG‖AE交BC于点G．则∠DGB＝∠ACB．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠DGB．∴DB＝DG．
∵BD＝CE，∴DG＝CE．
∵∠FDG＝∠FEC，∠DFG＝∠EFC，
∴△FDG≌△FEC．∴DF＝EF．
能力提高
1．D．
2．C．提示：两条对角线的交点P0满足条件．以AB为边向正方形内作等边三角形P1AB，则P1也满足条件．同理可作出P2、P3、P4．因此，在正方形内共可找到5个满足条件的点P(注：在正方形外还可以找到4个满足条件的点P) ．
3．40°．
提示：∠APQ＋∠AQP＝2(∠B＋∠C)＝2(180°－110°)＝140°．
4．①②③④．提示：连接AC，由SAS知△PCA≌△PCB，于是可知PC平分等腰三角形CAB的顶角，所以PC⊥AB．
5．过点A作AG⊥DE于点G，则
AG‖BC，∠FGA＝∠FEB，∠AFG＝∠BFE．
∵FA＝FB．∴△FAG≌△FBE．
∴FG＝FE＝3，AG＝BE＝4．
易知△CDE是等腰直角三角形，从而可知△AGD是等腰直角三角形，
∴DG＝AG＝4．∴DF＝DG＋FG＝4＋3＝7．
6．答：AB与AF，CF之间的等量关系是：AB＝AF＋CF．
证明：分别延长AE，DF相交于点M．则△EAB≌△EMC．
∴AB＝CM，∠BAE＝∠FMA．
∵∠BAE＝∠FAM，
∴∠FAM＝∠FMA．
∴AF＝FM．
∴AB＝CM＝CF＋FM＝CF＋AF．

希望可以对你有帮助蛤。

收起

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