向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是：可以
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 19:05:04
向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是：可以
向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量
若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.
我的想法是：可以把题目转化为α,Aα,A²α线性无关,Aα,A²α,A³α线性相关,求证α,Aα,A^4α线性无关.不过还是没做出来.
向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是：可以
一楼答了一部分 关键部分没有.
证明:
A^4α
=A(A^3α)
=A(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-3A^3α
=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-15Aα+9A^2α
=14A^2α-15Aα
B=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K
其中 K =
1 0 0
0 1 -15
0 0 14
因为 |K|=14≠0, 所以 K 可逆.
又由已知α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)可逆
故 B=(α,Aα,A^2α)K 可逆.
a
aaaaaaaaaa
A^4α
=A(A^3α)
=A(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-3A^3α
=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-15Aα+9A^2α
=14A^2α-15Aα
因为α，Aα，A²α线性无关
所以(α，Aα，A^4α)=(α，Aα，14A^2α-15Aα)线性无关
所以(α，Aα，A^4α)可逆