a^2-3a+1=0,求a^5/(a^10-1)=?据说有高明方法3步就出来

a^2-3a+1=0,求a^5/(a^10-1)=?据说有高明方法3步就出来
a^2-3a+1=0,求a^5/(a^10-1)=?
据说有高明方法3步就出来

a^2-3a+1=0,求a^5/(a^10-1)=?据说有高明方法3步就出来
(楼上有个地方错了a^4-1/a^4=45,他算成√45了)
首先确定a显然不等于0
a^5/(a^10-1)=1/(a^5-(1/a)^5)
即就是要求a^5-1/(a^5)
a^5-1/(a^5)=(a^4-1/(a^4))*(a+1/a)-(a^3-1/a^3)
那么由a^2-3a+1=0两边同时除以a得a+1/a=3,
两边平方
则a^2+1/a^2+2*a*1/a=9 [a^n*1/a^n=1要用到好几次,后面直接出数字了,不写了]
a^2+1/a^2=7
a-1/a=√(a^2+1/a^2-2)=√5
a^3-1/a^3=(a-1/a)(a^2+1/a^2+1)=8√5
a^4-1/a^4=(a^2+1/a^2)^2-4=45
所以a^5-1/(a^5)=45*3-8√5
a^5/(a^10-1)=1/(135-8√5)

方法如下：
等式两边同时除以a得：|a|+1/a的值
由上式很容易算出：a^2+1/a^2，a-1/a，a^4-1/a^4的值
故（a+1/a）*(a^4-1/a^4)=(a^5-1/a^5)+(a^3-1/a^3)=(a^5-1/a^5)+(a-1/a)*(a^2+1+1/a^2）
所以易求得：a^5/(a^10-1)=1/(a^5-1/a^5）的值

a^5/(a^10-1)=a^5/(a^5+1)(a^5-1)=[1/(a^5+1)+1/(a^5-1)]/2
所以求出a^5就可以。
不过这个结果好复杂啊。a=1/2* (3+/-根号5)

有一个简明但计算麻烦的思路，就是利用1=-a²+3a不断降幂或升幂。
a^5/(a^10-1)
=a^5/(a^10+a^2-3a)=a^4/(a^9+a-3)（第一次降幂）（-3=3a²-9a）
=a^4/(a^9+a+3a^2-9a)=a^4/(a^9+3a^2-8a)=a^3/(a^8+3a-8)（第二次降幂）（-8=-8a²-24a）<...

全部展开

有一个简明但计算麻烦的思路，就是利用1=-a²+3a不断降幂或升幂。
a^5/(a^10-1)
=a^5/(a^10+a^2-3a)=a^4/(a^9+a-3)（第一次降幂）（-3=3a²-9a）
=a^4/(a^9+a+3a^2-9a)=a^4/(a^9+3a^2-8a)=a^3/(a^8+3a-8)（第二次降幂）（-8=-8a²-24a）
=a^3/(a^8+3a+8a^2-24a)=a^3/(a^8+8a^2-21a)=a^2/(a^7+8a-21)（三）（-21=21a²-63a）
=a^2/(a^7+8a+21a^2-63a)=a^2/(a^7+21a^2-55a)=a/(a^6+21a-55)（四）（-55=55a²-165a）
=a/(a^6+21a+55a^2-156a)=a^/(a^6+55a^2-144a)=1/(a^5+55a-144)（五）
=（-a²+3a）/(a^5+55a+144a^2-432a)=(-a+3)/(a^4+144a-377)(分子升幂分母降幂，缩小幂次差距)
=（-a+3a^2-9a）/(a^4+144a+377a^2-1131)=(-3a+8)/(a^3+377-987)(幂次进一步缩小)
=（-3a-8a^2+24a）/(a^3+377+987a^2-2961a)=(-8a+21)/(a^2+987a-2584)(幂次第三次缩小)
=（-21a^2+55a）/(2585a^2-6765)(利用a²=3a-1)
=（-8a+21）/(990a-2585)
将a=（3+√5）/2代入，化简得1/（55√5）=√5/275
将a=（3-√5）/2代入，化简得-1/（55√5）=-√5/275

收起

a=13

对于a^2-3a+1=0两边除以a^2（a≠0否则等式不成立）得a+1/a=3
对待求式，取倒数得a^5-1/a^5,因式分解得(a-1/a)(a^4+a^3*1/a+a^2*1/a^2+a*1/a^3+1/a^4)即(a-1/a))(a^4+a^2+1+1/a^2+1/a^4)
(a-1/a)^2=(a+1/a)^2-4=5 a-1/a=±√5
a^2+1/a^2=(...

全部展开

对于a^2-3a+1=0两边除以a^2（a≠0否则等式不成立）得a+1/a=3
对待求式，取倒数得a^5-1/a^5,因式分解得(a-1/a)(a^4+a^3*1/a+a^2*1/a^2+a*1/a^3+1/a^4)即(a-1/a))(a^4+a^2+1+1/a^2+1/a^4)
(a-1/a)^2=(a+1/a)^2-4=5 a-1/a=±√5
a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2=7
a^4+1/a^4=(a^2+1/a^2)^2-2=47
所以(a-1/a))(a^4+a^2+1+1/a^2+1/a^4)=±√5(47+7+1)=±55√5
所以原式=±1/55√5=±√5/275

收起

首先确定a显然不等于0
a^5/(a^10-1)=1/(a^5-(1/a)^5)
即就是要求a^5-1/(a^5)
a^5-1/(a^5)=(a^4-1/(a^4))*(a+1/a)-(a^3-1/a^3)
那么由a^2-3a+1=0两边同时除以a得a+1/a=3,
两边平方
则a^2+1/a^2+2*a*1/a=9 [a^n*1/a^n=1要...

全部展开

首先确定a显然不等于0
a^5/(a^10-1)=1/(a^5-(1/a)^5)
即就是要求a^5-1/(a^5)
a^5-1/(a^5)=(a^4-1/(a^4))*(a+1/a)-(a^3-1/a^3)
那么由a^2-3a+1=0两边同时除以a得a+1/a=3,
两边平方
则a^2+1/a^2+2*a*1/a=9 [a^n*1/a^n=1要用到好几次，后面直接出数字了，不写了]
a^2+1/a^2=7
a-1/a=√(a^2+1/a^2-2)=√5
a^3-1/a^3=(a-1/a)(a^2+1/a^2+1)=8√5
a^4-1/a^4=(a^2+1/a^2)^2-4=45
所以a^5-1/(a^5)=45*3-8√5
a^5/(a^10-1)=1/(135-8√5)

收起