1,1,2,5,14,42.,求第n个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 04:18:55
1,1,2,5,14,42.,求第n个数
1,1,2,5,14,42.,求第n个数
1,1,2,5,14,42.,求第n个数
这是Catalan数
欧拉多边形分割问题：
设有一个正凸n边形,可以用n-3条不相交的对角线将n边形分成n-2个互相没有重叠的三角形, 例如n=5,共有下图所示5种方法.
对任意给定的一个N边形,任意选定一条边,则该边必是某一组成分割的三角形的一边,它的两个端点也是该三角形的两个端点,另一个端点可以来自于另外N-2个顶点,这个三角形将N边形分成二个多边形,下图是对一个六边形选定底边时的分割情况情况.
根据加法原理和乘法原理有：Hn=Hn-1+H3Hn-2+···+Hn-2H3+Hn-1 （1）
另外任取一条对角线Pij,将N边形一分为二,二部分分别为多边形,它们的边数之和为n+2,从一个顶点出发的n-3条对角线形成的n边形分割数为：H3Hn-1+H4Hn-2+…+Hn-2H4+Hn-1H3,从n个顶点出发的所有对角线形成的n边形分割数为n(H3Hn-1+H4Hn-2+…+Hn-2H4+Hn-1H3),由于一条对角线有两个端点,所以在上面的统计中,每条对角线出现了两遍,从所有的对角线出发形成的n边形分割数为：n(H3Hn-1+H4Hn-2+…+Hn-2H4+Hn-1H3)/2,任何一个分割是由n-3条对角线组成的,每个分割在上式中被重复统计了n-3遍,所以(n-3)Hn=n(H3Hn-1+H4Hn-2+…+Hn-2H4+Hn-1H3)/2, （2）
将（1）式写成n+1的情况有：Hn+1=Hn+H3Hn-1+···+Hn-1H3+Hn=(2+2(n-3)/n)Hn=((4n-6)/n)Hn
数学上将下列数列称为Catalan数,C0=1,C1=1,Cn=C0Cn-1+C1Cn-2+…Cn-2C1+Cn-1C0,下表给出了前16个Catalan数.
Catalan数字
0、1
1、1
2、2
3、5
4、14
5、42
6、132
7、429
8、1430
9、4862
10、16796
11、58786
12、208012
13、742900
14、2674440
15、9694845
显然,n边形的分割总数Hn=Cn-2.（只要设H2=1即可）
回答：
这个数列叫作Catalan numbers，也叫Segner numbers。其第n项为
(2n)!/[n!(n+1)!]。
前25项为
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 1296...
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回答：
这个数列叫作Catalan numbers，也叫Segner numbers。其第n项为
(2n)!/[n!(n+1)!]。
前25项为
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324。
收起
第六项是41吧，如果是41的话，就是这个分段的
an = [3^(n-2)+1]/2 ( n > 1)
an = 1 (n = 1)
第1项：1 = 1
第2项：1 = (3^0 + 1)/2
第3项：2=(1+3^1)/2
第4项：5=(1+3^2)/2
第5项：14=(1+3^3)=28/2
第6项: 41 = (1+3^4)/2 = 82/2
42的话暂时没有发现规律可言。