在三角形ABC中,角B等于2角C,AD是角BAC的平分线,求证：AC=AB+BD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 02:29:35
在三角形ABC中,角B等于2角C,AD是角BAC的平分线,求证：AC=AB+BD
在三角形ABC中,角B等于2角C,AD是角BAC的平分线,求证：AC=AB+BD
在三角形ABC中,角B等于2角C,AD是角BAC的平分线,求证：AC=AB+BD
在AC上截取AE=AB
∵AD平分∠CAB（已知）
∴∠CAD=∠BAD（角平分线的意义）
又∵AE=AB(已作）
所以在△AED与△ABD中
{AD=AD（公共边）
{∠EAD=∠BAD（已证）
{AE=ABA（已作）
∴△AED≌△ABD（S.A.S)
∴∠AED=∠ABD ED=BD （全等三角形对应角和边相等）
∵2∠C=∠B （已知）
∴∠AED=2∠C （等量代换）
∵∠AED=∠C+∠EDC (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴2∠C=∠C+∠EDC （等量代换）
∴∠C=∠EDC （等式性质）
∴EC=ED （等角对等边）
∵AC=AE+EC
∴AC=AB+ED=AB+BD（等量代换）
在AC上截取AE=AB.
三角形ABD全等于三角形AED.
角AED=角ABD=2角C.
所以角CDE=角C
所以DE=CE
所以AC=AB+BD.
在AC上找一点D使得AE=AB
因为AE=AB,AD=AD,AD平分角BAC
所以三角形AED与三角形ABD全等（SAS)
所以AE=AB(全等三角形对应边相等）
又因为角B等于2角C
所以角AED等于2角C
所以角C=角D（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）
所以CE=...
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在AC上找一点D使得AE=AB
因为AE=AB,AD=AD,AD平分角BAC
所以三角形AED与三角形ABD全等（SAS)
所以AE=AB(全等三角形对应边相等）
又因为角B等于2角C
所以角AED等于2角C
所以角C=角D（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）
所以CE=ED
因为ED=BD,所以BD=CE
即AC=AB+BD
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