一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)求函数F(X)的表达式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:17:48
一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)求函数F(X)的表达式一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线

一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)求函数F(X)的表达式
一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)
求函数F(X)的表达式

一个三次函数Y=F(X),当X=3是取得极小值Y=0.又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)求函数F(X)的表达式
设F(X)=ax3+bx2+cx+d(a>0)
由题意可得F(1)=8,F(3)=0带入原方程可得:
8=a+b+c+d…………○1
0=27a+9b+3c+d……○2
设F’(X)为F(X)的导函数,有
F’(X)=3ax2+2bx+c
因为当X=3时F(X)取得极小值,所以F’(3)=0则可列出方程:
0=27a+6b+c……○3
又因为若直线过点(1,8),(3,0)则该直线的斜率为k=(8-0)/(1-3)=-4.由已知得,该直线是F(X)在点(1,8)上的切线,则F’(1)=-4
所以
-4=3a+2b+c……○4
联立方程○1,○2,○3,○4
解之得:a=1,b=-5,c=3,=9
所以F(X)= x3-5x2+3x+9

设F(X)=AX3+BX2+CX+D
F/(X)=3AX2+2BX+C
F//(X)=6AX+2B
因为当X=3是取得极小值Y=0
所以F//(3)=18A+2B=0 (1)
F(3)=27A+9B+3C+D=0 (2)
又因为点(1,8)在曲线上
F(1)=A+B+C+D=8 ...

全部展开

设F(X)=AX3+BX2+CX+D
F/(X)=3AX2+2BX+C
F//(X)=6AX+2B
因为当X=3是取得极小值Y=0
所以F//(3)=18A+2B=0 (1)
F(3)=27A+9B+3C+D=0 (2)
又因为点(1,8)在曲线上
F(1)=A+B+C+D=8 (3)
切线经过点(3,0)
F/(3)=27A+6B+C=0 (4)
解以上四条方程,求出系数A、B、C、D即可
其中A=-1,B=9,C=-27,D=27

收起

Y=F(X)=ax^3+bx^2+cx+d
27a+9b+3c+d=0
a+b+c+d=8
Y'=F'(X)=3ax^2+2bx+c
27a+6b+c=0
切线为y=-4x+12
则3a+2b+c=-1/4
a=31/16,b=-185/16,c=273/16,d=9/16

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