过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 13:41:31
过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程过点P(1,2)

过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程
过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程

过点P(1,2)作直线交x,y轴的正半轴于A,B,求使三角形AOB面积取得最小值时直线的方程
设直线方程为x/a+y/b=1 ,
则1/a+2/b=1 .
又 1/a+2/b≥2√[2/(ab)]
∴1≥2√[2/(ab)]
得ab≥8 .当且仅当 1/a=2/b=1/2,
即 a=2,b=4时等号成立.
∴S=ab/2≥4 .
∴S最小值=4
x/2+y/4=1
2x+y-4=0

因为与x、y正半轴交,可知斜率k<0
设直线方程y=kx+b,将p(1,2)代入,得k+b=2(1)
分别令x=0,y=0,得到两个方程:
y=b
x=-b/k
那么AOB的面积S=1/2 *b*(-b/k)(2)
将(1)式代入(2)式有
S=(-1/k)+2-k/2
对S求导,令导数为0,得
k^2=2
k=根号下...

全部展开

因为与x、y正半轴交,可知斜率k<0
设直线方程y=kx+b,将p(1,2)代入,得k+b=2(1)
分别令x=0,y=0,得到两个方程:
y=b
x=-b/k
那么AOB的面积S=1/2 *b*(-b/k)(2)
将(1)式代入(2)式有
S=(-1/k)+2-k/2
对S求导,令导数为0,得
k^2=2
k=根号下2或负根号下2(舍掉正的,前面有提到)
所以面积S=(3*根下2+4)/2

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