一道抛物线问题在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的两点AB.问：如果OA与*OB=-4,证明：直线l必过一定点,并求出该定点.

一道抛物线问题在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的两点AB.问：如果OA与*OB=-4,证明：直线l必过一定点,并求出该定点.
一道抛物线问题
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的两点AB.问：如果OA与*OB=-4,证明：直线l必过一定点,并求出该定点.

一道抛物线问题在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的两点AB.问：如果OA与*OB=-4,证明：直线l必过一定点,并求出该定点.
设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线L的斜率不为0
则设直线为x=my+t
(注意,此种设法可以避免分类讨论,即讨论直线的斜率是否存在.)
与抛物线方程y^2=4x联立,
即将直线代入抛物线方程.
则 y²=4(my+t)
∴ y²-4my-4t=0
利用韦达定理
则 y1+y2=4m, y1*y2=-4t
∴ x1*x2=(4x1*4x2)/16=(y1²*y2²)/16=t²
∵ 向量OA乘向量OB=-4
∴ x1x2+y1y2=-4
∴ t²-4t=-4
∴ t²-4t+4=0
∴ (t-2)²=0
∴ t=2
即直线方程为x=my+2
∴ 直线L恒过一个定点,这个定点的坐标是(2,0)

解法二：参数方程
设A(t1²,2t1),B(t2²,2t2)
则t1²*t2²+4t1t2=-4
∴ (t1t2+2)²=0
∴ t1t2=-2
k(AB)=2(t1-t2)/(t1²-t2²)=2/(t1+t2)
∴ AB方程 y-2t2=[2/(t1+t2)]*(x-t2²)
∴ y=[2/(t1+t2)]x+2t1t2/(t1+t2)
∴ y=[2/(t1+t2)]x-4/(t1+t2)
∴ x=2时,y=0
∴ 直线恒过点(2,0)

直线l与x轴必相交，设交点为T(m,0)
设直线l的方程为x=ty+m代入y²=4x
得 y²=4(ty+m)
即y²-4ty-4m=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4m
∵y²1=4x1,y²2=4x2
∴16x1x2=(y1y2)²=16...

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直线l与x轴必相交，设交点为T(m,0)
设直线l的方程为x=ty+m代入y²=4x
得 y²=4(ty+m)
即y²-4ty-4m=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4m
∵y²1=4x1,y²2=4x2
∴16x1x2=(y1y2)²=16m²
∴x1x2=m²
∵OA与*OB=-4
即x1x2+y1y2=-4
∴m²-4m=-4
∴(m-2)²=0
m=2直线l与x轴交点T为定点(2,0)

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