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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 04:05:14
第18道,/>第18道,/>第18道,/>郭敦顒回答：已知F是抛物线y=（1/4）x²的焦点,P是抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是（A,x²=2y－1）.将抛物线y=（1
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郭敦顒回答：
已知F是抛物线y=（1/4）x²的焦点,P是抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是（A,x²=2y －1）.
将抛物线y=（1/4）x²变换为标准方程的形式；x²=4y,2p=4,p=2,
∵抛物线标准方程x²=2py的焦点坐标是（0,p/2）,
∴焦点F的坐标是F（0,1）
线段PF中点的轨迹方程是抛物线,设为y= ax²+ bx+c,
原抛物线,当x=0时,y=0,PF中点A的坐标是A（0,1/2）；
当x=2时,y=1,PF中点B的坐标是B（1,1）；
当x=4时,y=4,PF中点C的坐标是C（2,5/2）；
当x=6时,y=9,PF中点D的坐标是D（3,5）；
将A（0,1/2）,B（1,1）,C（2,5/2）的坐标值分别代入y= ax²+ bx+c得,
1/2= c
1= a+ b+1/2,a+ b=1/2 （1）
5/2=4a+2b+1/2,4a+2b=2 （2）
（2）－2（1）得,2a=1,a=1/2,
b=1/2－a=1/2－1/2=0,
∴线段PF中点的轨迹方程是y= （1/2）x² +1/2,或表达为：x²=2y －1,
将D（3,5）的坐标值代入上方程检验得y=5,
（1/2）x² +1/2=9/2+1/2=5,无误.
∴选项是A,x²=2y －1.
由已知得F(0,1)，设PF中点为（x，y），则P（2x，2y-1）。
而P在抛物线上，所以代入抛物线解析式得：
2y-1=1/4(2x)^2
化简得：2y-1=x^2
选A