过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为?

过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为?
过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为?

过原点OI作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x^2/2+y^2=1交于A,C与B,D,则四边形ABCD的面积最小值为?
若AC、BD中一条没斜率,则另一条在x轴上
此时S(ABCD)=1/2|AC||BD|=1/2*2√2*2=2√2
若AC有斜率且不为0,设为k,则BD斜率=-1/k
AC为：y=kx
BD为：y=-1/k*x
设A(x1,kx1),C(x2,kx2)
则x1、x2为x^2/2+(kx)^2=1的两根
即x^2=2/(2k^2+1)的两根,所以|x1-x2|=2√(2/(2k^2+1))
∴|AC|=√((x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2)=√(8(k^2+1)/(2k^2+1))
同理,|BD|=√(8((-1/k)^2+1)/(2(-1/k)^2+1))=√(8(k^2+1)/(k^2+2))
S(ABCD)=1/2|AC||BD|
=4(k^2+1)/√(2k^4+5k^2+2)
=4/√((2k^4+5k^2+2)/(k^4+2k^2+1))
=4/√(2+k^2/(k^4+2k^2+1))
=4/√(2+1/(k^2+2+1/k^2))
≥4/√(2+1/(2+2))=8/3
取等时k^2=1/k^2
|k|=1