微积分二重积分的应用：求立体的体积求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/23 04:36:41

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微积分二重积分的应用：求立体的体积求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.
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微积分二重积分的应用：求立体的体积求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.
借用下：
求两个曲面z=2-4x^2-9y^2与 z=√（4x^2+9y^2）所围立体的体积V
设x=rcosθ/2,y=rsinθ/3,r＞0,则原来的两个曲面方程化为
z=2-r²,z=r,它们的交线是r=1,z=1
V=∫∫[(2-4x²-9y²)-√(4x²+9y²)]dxdy
=(1/2)×(1/3)∫∫r(2-r²-r)drdθ
=(π/3)∫(2r-r²-r^3)dr
=(π/3)(r²-r^3/3-r^4/4)|
=5π/36

z＝xy是双曲抛物面，就是马鞍面。
立体在xy坐标面上的投影是由x轴，y轴，直线x+y＝1围成的区域D。两个曲面z＝xy，x+y+z＝1的交线在xy坐标面上的投影是曲线：xy＝1－x－y，此曲线把区域D分成两部分。
D1由曲线xy＝1－x－y与x+y＝1围成，D2由x轴，y轴，xy＝1－x－y围成。
立体的边界曲面中曲面z＝xy的部分在xy坐标面上的投影是D2，曲面z...

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