微积分二重积分的应用:求立体的体积 求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:40:06
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微积分二重积分的应用:求立体的体积 求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.
微积分二重积分的应用:求立体的体积 求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.

微积分二重积分的应用:求立体的体积 求由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所围成立体的体积.
借用下:
求两个曲面z=2-4x^2-9y^2与 z=√(4x^2+9y^2)所围立体的体积V
设x=rcosθ/2,y=rsinθ/3,r>0,则原来的两个曲面方程化为
z=2-r²,z=r,它们的交线是r=1,z=1
V=∫∫[(2-4x²-9y²)-√(4x²+9y²)]dxdy
=(1/2)×(1/3)∫∫r(2-r²-r)drdθ
=(π/3)∫(2r-r²-r^3)dr
=(π/3)(r²-r^3/3-r^4/4)|
=5π/36

z=xy是双曲抛物面,就是马鞍面。
立体在xy坐标面上的投影是由x轴,y轴,直线x+y=1围成的区域D。两个曲面z=xy,x+y+z=1的交线在xy坐标面上的投影是曲线:xy=1-x-y,此曲线把区域D分成两部分。
D1由曲线xy=1-x-y与x+y=1围成,D2由x轴,y轴,xy=1-x-y围成。
立体的边界曲面中曲面z=xy的部分在xy坐标面上的投影是D2,曲面z...

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z=xy是双曲抛物面,就是马鞍面。
立体在xy坐标面上的投影是由x轴,y轴,直线x+y=1围成的区域D。两个曲面z=xy,x+y+z=1的交线在xy坐标面上的投影是曲线:xy=1-x-y,此曲线把区域D分成两部分。
D1由曲线xy=1-x-y与x+y=1围成,D2由x轴,y轴,xy=1-x-y围成。
立体的边界曲面中曲面z=xy的部分在xy坐标面上的投影是D2,曲面z1-x-y的部分在xy坐标面上的投影是D1。
所以体积V= http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/79/94/01/1490799401.8793396.JPG

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