如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 17:03:23
如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）
如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）
如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点(即垂心).(提示：过A,B,C分别作对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线）
用内心来证明
如图
作ML‖BC
MN‖AC
LN‖AB
因为BE⊥AC
所以BE⊥MN
同理有
FC⊥LN
AD⊥ML
可知四边形ABCN为平行四边形
又
∠BCN=∠ABC
∠MAB=∠ABC
则∠BCN=∠MAB
则
△MAB≌△BCN
即MB=NB
即
EB为MN边的垂直平分线
同理可证得其它两条都为相应边的垂直平分线
给大三角画个外切圆
它的三个边都是圆的弦
根据定理：弦的垂直平分线都交于圆点
可知FC,BE,AD交于同一点
设BE、CF交于一点为H，连接AH并延长到BC于D"
H为BE、CF、AD"交点.
BE⊥AC，CF⊥AB.
则A、F、H、E四点共圆, ∠BCF=∠BEF,
B、F、E、C四点共圆 ∠AHF=∠AEF， 而∠AHF=∠CHD"
另∠AEF+∠FEB=90°, 代上各式,有∠BCH+∠CHD"=90°.
也即AD"⊥BC
AD为...
全部展开
设BE、CF交于一点为H，连接AH并延长到BC于D"
H为BE、CF、AD"交点.
BE⊥AC，CF⊥AB.
则A、F、H、E四点共圆, ∠BCF=∠BEF,
B、F、E、C四点共圆 ∠AHF=∠AEF， 而∠AHF=∠CHD"
另∠AEF+∠FEB=90°, 代上各式,有∠BCH+∠CHD"=90°.
也即AD"⊥BC
AD为△ABC的高,AD⊥BC,
所以:AD与AD"重合!
AD、BE、CF必定相交与一点!
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