在右图勾股图中已知角ACB=90度,角BAC=30度,AB=4,作三角形PQR使得角R=90度,点H在边QR上,点D,E在边PR点G,F在边PQ上,那么APQR的周长等于?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:38:10
在右图勾股图中已知角ACB=90度,角BAC=30度,AB=4,作三角形PQR使得角R=90度,点H在边QR上,点D,E在边PR点G,F在边PQ上,那么APQR的周长等于?
在右图勾股图中已知角ACB=90度,角BAC=30度,AB=4,作三角形PQR使得角R=90度,点H在边QR上,点D,E在边PR
点G,F在边PQ上,那么APQR的周长等于?
在右图勾股图中已知角ACB=90度,角BAC=30度,AB=4,作三角形PQR使得角R=90度,点H在边QR上,点D,E在边PR点G,F在边PQ上,那么APQR的周长等于?
延长BA交QR与点M,连接AR,AP．易证△QHG是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4×√3/2 =2√3．
则QH=HA=HG=AC=2√3．
在直角△HMA中
HM=AH•sin60°=2√3×√3/2=3．
AM=HA•cos60°=2√3/2=√3．
在直角△AMR中
MR=AD=AB=4．
∴QR=2√3 +3+4=7+2√3
∴QP=2QR=14+4√3．
PR=QR•√3=7√3+6．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13√3
其实题目有误,是求△PQR的周长,而非APQR的周长,当然APQR的周长也可以求,只是太繁了
AP^2=AD^2+DP^2=4^2+(PR-MA)^2=4^2+(7√3+6-√3)^2=4^2+(6√3+6)^2=160+72√3
AP=√(160+72√3)
AR^2=AD^2+AM^2=4^2+3=19
AP=√19
APQR的周长
=AP+PQ+QR+AQ
=√(160+72√3)+7+2√3+14+4√3+√19
=√(160+72√3)+21+6√3+√19
过点A作AN⊥RQ于点N，
因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，四边形HACG、BCFK均为正方形，
所以∠HAC=∠HGC=∠AHG=∠BCF=∠FCG=90°，HA=AC=CG，BC=CF，
则△GCF≌△ACB（SAS），则∠CGF=∠BAC=30°，
则∠HGQ=180°-∠CGF-∠HGC=180°-30°-90°=60°，
又因为∠H...
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过点A作AN⊥RQ于点N，
因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，四边形HACG、BCFK均为正方形，
所以∠HAC=∠HGC=∠AHG=∠BCF=∠FCG=90°，HA=AC=CG，BC=CF，
则△GCF≌△ACB（SAS），则∠CGF=∠BAC=30°，
则∠HGQ=180°-∠CGF-∠HGC=180°-30°-90°=60°，
又因为∠HAN=180°-∠BAC-∠HAC=180°-30°-90°=60°，∠ANH=90°， 则∠AHN=30°，
所以∠Q=180°-∠AHN-∠AHG=180°-30°-90°=60°=∠HGQ，
则∠P=30°，且△QHG为等边三角形，
所以QH=HG=QG=HA=AC=CG，
因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
则AC=AB×cos∠BAC=4×(√3/2)=2 √ 3，
因为四边形HACG为正方形，
所以HA=AC=2√ 3=QH，
在Rt△ANH中，因为∠AHN=30°，
所以AN=HA/2=√ 3，HN=HA×cos∠AHN=2√ 3×(√ 3/2)=3，
又因为四边形ADEB是正方形，∠R=90°，AN⊥QR于点N，则四边形ANRD为矩形，
所以NR=AD=AB=4，
所以QR=QH+HN+NR=2√ 3+3+4=7+2√ 3，
所以PQ=2QR=14+4√ 3， PR=QR×tan∠P=(7+2√ 3)×(√ 3)=7√ 3+6，
所以△PQR的周长为：QR+PQ+PR=7+2√ 3+14+4√ 3+7√ 3+6=27+13√ 3。
收起
好像是个很复杂的答案撒……