梯形辅助线的常见做法和例题

梯形辅助线的常见做法和例题
梯形辅助线的常见做法和例题

梯形辅助线的常见做法和例题

规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.

例：已知,如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD = 3,AB = 4,BC = 7

求∠B的度数

过A作AE∥CD交BC于E,则四边形AECD为平行四边形

∴AD = EC, CD = AE

∵AB = CD = 4,  

AD = 3, BC = 7 

∴BE = AE = AB = 4

∴△ABE为等边三角形

∴∠B = 60o 

规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个三角形.

例：已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = AC,∠BAC = 90o,BD = BC,BD交AC于O

求证：CO = CD

证明：过A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形

∴AE = DF

∵AB = AC,AE⊥BC,∠BAC = 90o,

∴AE = BE = CE = BC,∠ACB = 45o 

∵BC = BD

∴AE = DF =  BD

又∵DF⊥BC

∴∠DBC = 30o

∵BD = BC

∴∠BDC =∠BCD 

        =  (180o－∠DBC)

= 75o

∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o

∴∠BDC =∠DOC

∴CO = CD

规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形和三角形.

例：已知,如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD＋BC = 10,DE⊥BC于E

求DE的长.

过D作DF∥AC,交BC的延长线于F,则四边形ACFD为平行四边形

∴AC = DF, AD = CF

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴AC = DB

∴BD = FD

∵DE⊥BC 

∴BE = EF = BF

= (BC＋CF) = (BC＋AD)

= ×10 = 5

∵AC∥DF,BD⊥AC

∴BD⊥DF

∵BE = FE

∴DE = BE = EF =  BF = 5

答：DE的长为5.

规律59.延长梯形两腰使它们交于一点,把梯形转化成三角形.

例：已知,如图,在四边形ABCD中,有AB = DC,∠B =∠C,AD＜BC

求证：四边形ABCD等腰梯形

证明：延长BA、CD,它们交于点E

∵∠B =∠C

∴EB = EC

又∵AB = DC

∴AE =DE 

∴∠EAD =∠EDA

∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180o 

  ∠B＋∠C＋∠E = 180o 

∴∠EAD =∠B

∴AD∥BC

∵AD≠BC,∠B =∠C

∴四边形ABCD等腰梯形

（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线）

规律60.有梯形一腰中点时,常过此中点作另一腰的平行线,把梯形转化成平行四边形.

例：已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,EF⊥AB于F

求证：S梯形ABCD = EF•AB

证明：过E作MN∥AB,交AD的延长线于M,交BC于N,则四边形ABNM为平行四边形

∵EF⊥AB

∴S□ABNM = AB•EF

∵AD∥BC

∴∠M =∠MNC 

又∵DE = CE   ∠1 =∠2

∴△CEN≌△DEM

∴S△CEN  = S△DEM

∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM

         = S梯形ABCD = EF•AB

规律61. 有梯形一腰中点时,也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交,把梯形转换成三角形.

例：已知,如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD于A,DE = EC = BC

求证：∠AEC = 3∠DAE

证明：连结BE并延长交AD的延长线于N

∵AD∥BC

∴∠3 =∠N

又∵∠1 =∠2   ED = EC

∴△DEN≌△CEB

∴BE = EN    DN = BC

∵AB⊥AD

∴AE = EN = BE

∴∠N =∠DAE

∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE

∵DE = BC   BC = DN

∴DE = DN

∴∠N =∠1

∵∠1 =∠2   ∠N =∠DAE

∴∠2 =∠DAE

∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE

即∠AEC = 3∠DAE

规律62.梯形有底的中点时,常过中点做两腰的平行线.

例：已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC

求证：∠B =∠C

证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N,则得□ABME,□NCDE

∴AE = BM,AB∥= EM,DE = CN,CD = NE

∵AE = DE

∴BM = CN

又∵BF = CF

∴FM = FN

又∵EF⊥BC

∴EM = EN

∴∠1 =∠2

∵AB∥EM, CD∥EN

∴∠1 =∠B   ∠2 =∠C

∴∠B = ∠C