已知数列{bn}前n项和为Sn,且2(Sn-n)=n*bn,求证{bn}是等差数列.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/31 02:28:04
已知数列{bn}前n项和为Sn,且2(Sn-n)=n*bn,求证{bn}是等差数列.
已知数列{bn}前n项和为Sn,且2(Sn-n)=n*bn,求证{bn}是等差数列.
已知数列{bn}前n项和为Sn,且2(Sn-n)=n*bn,求证{bn}是等差数列.
由已知得2Sn=nbn+2n
用n-1代换n得2S(n-1)=(n-1)b(n-1)+2(n-1)
两式相减得2bn=2+nbn-(n-1)b(n-1)
即(n-2)bn=(n-1)b(n-1)-2-------------①
在①式中用n+1代换n,得(n-1)b(n+1)=nbn-2
两式相减得
b(n+1)+b(n-1)=2bn
此即等差数列的等价式.
∴{bn}是等差数列
Sn=n(bn +2)/2,①Sn-1=(n-1)(bn-1 +2)/2,②,①-②得:
(n-2)bn=(n-1)bn-1 -2
两边同时除以(n-1)×(n-2),化简得:(bn -2)/(n-1)=(bn-1 -2)/(n-2) (注:-2/(n-1)×(n-2)=2(1/(n-1)-1/(n-2))
所以数列{bn -2/(n-1)}是以b2-2为首项,...
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Sn=n(bn +2)/2,①Sn-1=(n-1)(bn-1 +2)/2,②,①-②得:
(n-2)bn=(n-1)bn-1 -2
两边同时除以(n-1)×(n-2),化简得:(bn -2)/(n-1)=(bn-1 -2)/(n-2) (注:-2/(n-1)×(n-2)=2(1/(n-1)-1/(n-2))
所以数列{bn -2/(n-1)}是以b2-2为首项,以1为公比的等比数列,∴bn -2/(n-1)=b2-1,化简得:bn=(b2-2)n-b2+4,bn+1-bn=b2-2(b2为常数),所以{bn}为等差数列。
注:bn-1表示数列的第n-1项
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