已知f(x)=x^2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:47:15
已知f(x)=x^2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
已知f(x)=x^2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
已知f(x)=x^2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
f(x) 是开口向上的抛物线
以下两个条件,只要满足其中一个,则 f(x)≥0 得到满足
1） 如果f(x)与x轴无交点,即方程 f(x)=0无解或只有一个解
2） 若 f(x) = 0 有2个解,但是抛物线对称轴在 [-2,2]区间之外,且 f(-2) ≥0 和 f(2) ≥ 0 同时成立.
f(x) = x^2+ax+3-a = 0
判别式 a^2 - 4(3-a) = a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a -2)
因此当 -6 ≤ a ≤ 2 时,判别式 ≤ 0
f(x) = 0 最多有一个解.
开口向上的抛物线与x轴最多有一个交点（切点）,则对任意 x ,都有f(x)≥0恒成立.当然 也包括了x∈[-2,2] .
当 a < -6 以及 a > 2时,抛物线与x轴有2个交点.
f(x) = x^2 + 2 * (a/2) * x + (a/2)^2 - (a/2)^2 + 3 -a
= (x + a/2)^2 + ……
因此对称轴为 x = -a/2
若使对称轴不在 [-2,2] 区间,则
-a/2 < -2
或
-a/2 > 2
则 a > 4 或 a < -4
f(2) = 4 + 2a + 3 -a = a + 7
f(-2) = 4 - 2a + 3 - a = 7 - 3a
a + 7 ≥ 0
7 - 3a ≥ 0
-7 ≤ a ≤ 7/3
与 a >4 或 a < -4 取并集,则
-7 ≤ a < -4
这个结论是在 a < -6 或 a >2 前提下得出的.因此
-7 ≤ a < -6
综上所述 取 -7 ≤ a < -6 以及 -6 ≤ a ≤ 2 的并集.
当 -7 ≤ a ≤ 2 时,对于 x∈[-2,2],f(x)≥0 恒成立