直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 底面平行四边形 AB=根号2 BD=BC=1 AA1=2 E为DC中点 F在DD1上 DF=1/4证明:EF垂直BC1求:二面角E-FB-D值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:38:18
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 底面平行四边形 AB=根号2 BD=BC=1 AA1=2 E为DC中点 F在DD1上 DF=1/4证明:EF垂直BC1求:二面角E-FB-D值
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 底面平行四边形 AB=根号2 BD=BC=1 AA1=2 E为DC中点 F在DD1上 DF=1/4
证明:EF垂直BC1
求:二面角E-FB-D值
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 底面平行四边形 AB=根号2 BD=BC=1 AA1=2 E为DC中点 F在DD1上 DF=1/4证明:EF垂直BC1求:二面角E-FB-D值
三角形EFD是RT三角形,
根据勾股定理得：EF=3/4,
连结AD1,作FG‖AD1,交AD于G,
AD1=√（DD1^2+AD^2）=√5,
FG/AD1=FD/DD1,
FG=√5(1/4)/2=√5/8,
DG=1/8,
BC=BD=1,可以证明〈DAB=45度,
〈ADC=135度,
在三角形FGE中,
根据余弦定理,
EG^2=DE^2+DG^2-2DE*DG*cos135°,
EG=√41/8,
在三角形FGE中,
FG^2+EF^2=5/64+9/16=41/64,
EG^2=41/64,
根据勾股定理逆定理,〈GFE=90度,
∴EF⊥FG,而FG‖AD1,
而AD1‖BC1,
∴EF⊥BC1.
（2）、BF=√（BD^2+DF^2）=√17/4,
在三角形BEC中,根据余弦定理,
BE^2=BC^2+CE^2-2*BC*CE*cos45度,
BE=√2/2,
BE⊥CD,
S△BEF=BE*EF/2=3√2/16,
平面BDF⊥平面ABCD,
设二面角E-FB-D平面角为θ,
作EH⊥BD,作HM⊥BD,连结EM,
△MED在平面BDF上射影为△BHM,
S△BHM= S△BDF/4=1/32,
S△EMB= S△BEF/2=3√2/32,
S△BEMcosθ= S△BHM,
（3√2/32）cosθ=1/32,
cosθ=√2/6.
∴θ=arc cos(√2/6).
二面角E-FB-D为arc cos(√2/6).