如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两 如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,求证,直线AC经过原点O
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 11:13:06
如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两 如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,求证,直线AC经过原点O
如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两
如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,求证,直线AC经过原点O
如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两 如图,已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,求证,直线AC经过原点O
证明：∵抛物线y^2=2px(p>0)
设过焦点F的直线为y=k(x-p/2)==> y^2=k^2(x^2-px+p^2/4)
代入抛物线得k^2x^2-(k^2+2)px+k^2p^2/4=0
X1=[(k^2+2)-2√(1+k^2)]/k^2*p/2=[√(1+k^2)-1]^2/k^2*p/2
X2=[(k^2+2)+2√(1+k^2)]/k^2*p/2=[√(1+k^2)+1]^2/k^2*p/2
设B(x1,y1),A(x2,y2)
∵点C在抛物线的准线上,且BC//x轴
∴C(-p/2,y1)
直线CO方程y=-2y1/p*x
Y1=k(x1-p/2)=k*p/2*([√(1+k^2)-1]^2/k^2-1)=k*p/2*([2-2√(1+k^2)]/k^2
Y2=k(x2-p/2)=k*p/2*([√(1+k^2)+1]^2/k^2-1)=k*p/2*([2+2√(1+k^2)]/k^2
y=-k*([2-2√(1+k^2)]/k^2*x
将A坐标代入此方程
Y=-k*([2-2√(1+k^2)]/k^2*[√(1+k^2)+1]^2/k^2*p/2
=-k*{-2[√(1+k^2)+1]^2/k^2}*p/2=y2
∴A点在直线CO上,即AC过原点.
当斜率k不存在时,直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2.则点C(-p/2,-p).直线AC过原点.（A与C关于原点对称.）
证明：
讨论：
1，当斜率k不存在时，直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2。则点C(-p/2,-p).显然直线AC过原点。（因为A与C关于原点对称。）
2，斜率存在时，设直线方程为：y=k(x-p/2),与抛物线交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2).则点C(-p/2,y2).其中 x1*x2 = p^2/4 , ...
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证明：
讨论：
1，当斜率k不存在时，直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2。则点C(-p/2,-p).显然直线AC过原点。（因为A与C关于原点对称。）
2，斜率存在时，设直线方程为：y=k(x-p/2),与抛物线交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2).则点C(-p/2,y2).其中 x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 .
直线OC的斜率为k1=y2/(-p/2)=-2y2/p；直线AO的斜率为k2=y1/x1.
简单代换一下，就得k1=k2.所以A,O,C三点共线。即直线AC过原点。
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