数列的柯西准则怎么证

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 15:43:36
数列的柯西准则怎么证数列的柯西准则怎么证数列的柯西准则怎么证柯西准则：数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|0,存在正整数k,使

数列的柯西准则怎么证
数列的柯西准则怎么证

数列的柯西准则怎么证
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|0,存在正整数k,使得任意m>N,都有：
|X(k+1)-Xm|

这个涉及实数系的完备性（实际上就是完备性的定义），只能用其他几个完备性的等价定理来推导。
首先证明有界数列必有收敛子列。
这个只需要把有界的区域不断二等分，每次选含有无穷多个元素的一半，然后再二等分，再选有无穷多元素的一半，从而利用闭区间套定理就可以了。
然后用这个可以证明柯西收敛准则。
首先柯西列必然有界，那么有收敛子列。记极限为A。利用cauchy列定义可以证明...

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这个涉及实数系的完备性（实际上就是完备性的定义），只能用其他几个完备性的等价定理来推导。
首先证明有界数列必有收敛子列。
这个只需要把有界的区域不断二等分，每次选含有无穷多个元素的一半，然后再二等分，再选有无穷多元素的一半，从而利用闭区间套定理就可以了。
然后用这个可以证明柯西收敛准则。
首先柯西列必然有界，那么有收敛子列。记极限为A。利用cauchy列定义可以证明数列收敛到A。（分为A到子列元素距离，以及子列元素与原数列元素距离两部分足够小即可）

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