如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 23:50:43
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
1.首先证明△ABC是直角三角形.
假设BC与AC不垂直,则过点B作BD⊥AC交直线AC与点D
∵∠A=60°（已知）
∴AB=2AD（直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半）
∵AB=2AC（已知）
∴AC=AD（等量代换）
这与直线外一点与直线上各点所连成的所有线段中,垂线段最短相矛盾,所以假设错误,即AC、AD两线重合.
∴BC⊥AC
即△ABC为直角三角形.（直角三角形定义）.
2.作全等△AP1C关于直线AC与△APC全等.△BP2C关于直线BC与△BPC全等..△BP3A关于直线AB与△BPA全等..
则,∠P2BP3=2∠B=60°,∠P1AP3=2∠A=120°.∠P2CP1=2∠C=180°,所以点P2,P1,C 在同一直线上.
依次连接点A,P1,C,P2,B,P3,A.得到一个凸五边形.且五边形的面积是△ABC的二倍.连接P1,P2,P3,.易得P2P3=BP2=BP=5,P1P2=P1C+P2C=2PC=4,由△AP1P3为等腰△（因为AP3=AP1）,且求得∠P1AP3=2∠A=120°.所以S△P1AP3=3√3/4,且P3P1=3,
进一步求得（3,4,5 为勾股数）△P1P2P3为直角△.
易求S△P2BP3=25√3/4,S△P1P2P3=6.
所以S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6
所以△ABC=3+7√3/2.
如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2
于是，AQ＝2 AP＝2，BQ＝2CP＝4
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°
由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900
于是，PQ＝AP＝3
∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而...
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如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2
于是，AQ＝2 AP＝2，BQ＝2CP＝4
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°
由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900
于是，PQ＝AP＝3
∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP＝900
作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知
∠AQM＝600，QM＝，AM＝3，于是，
∴AB2＝BM 2＋AM 2 ＝(4＋) 2＋32＝28＋8
故S△ABC＝AB•ACsin600＝AB 2＝
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