正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.1、求证：DF=EF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:02:09
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.1、求证：DF=EF
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.
（1）如图2,若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.
1、求证：DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论.
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合）PE⊥PB且PE交直线CD于点E,判断（1） 中的结论1、2是否成立?若不成立,写出相应结论.
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.1、求证：DF=EF
⑴ 如图,作PH⊥BC ,根据正方形的轴对称性：ΔPBH≌ΔPDF,
∴PH=PF,又∠PHC=∠HCF=∠PFC=90°,
∴四边形PHCF是正方形,
∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°,
∴∠BPH=∠EPF,又∠PHB=∠PFE=90°,PH=PF,
∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚,
∴PE=PB=PD ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚,
CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2,即PC-PA＝√2CE.
(过P作PQ⊥AD于Q,则DF=PQ=AP/√2)
⑵ 作PH⊥BC ,ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚ ∴PE=PB=PD ∴DF=EF,
CE=CF+EF=CF+DF=PC/√2+PA/√2,即PC+PA＝√2CE .