过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:00:09
过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.
过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.
过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.
三角形面积公式用 S=（1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB
可得 ⊿AOB的面积 S=（1/2)OA*OB*sin∠AOB
= (1/2) ×1×1×sin∠AOB
=( sin∠AOB)/2
因 S最大,所以 ∠AOB=90°,此时⊿AOB是等腰直角三角形,
故O点到直线距离为 斜边AB之半,即d=√2/2
设 直线方程为 y=kx +3
化为一般式 kx -y +3 =0
由上面的分析,用点到直线的距离公式可得 3/√(k²+1) ==√2/2
解之得：k= ± √17
故所求直线方程为 y= ± √17 x +3
设L的方程为Y=KX+3与圆x^2+y^2=1联立解方程组
得（K^2+1)X^2+6KX+8=0
X1+X2=-6K/(K^2+1) X1*X2=8/(K^2+1)
再解Y1*Y2=K^2X1*X2+3K(X1+X2)+9
=-10K^2/(K2+1)+9
因三角形面积最大，由S=1/2absin知两边互相垂直就有X1*X2+Y...
全部展开
设L的方程为Y=KX+3与圆x^2+y^2=1联立解方程组
得（K^2+1)X^2+6KX+8=0
X1+X2=-6K/(K^2+1) X1*X2=8/(K^2+1)
再解Y1*Y2=K^2X1*X2+3K(X1+X2)+9
=-10K^2/(K2+1)+9
因三角形面积最大，由S=1/2absin知两边互相垂直就有X1*X2+Y1*Y2=0
解8/(K^2+1)-10K^2/(K2+1)+9=0
的看K^2=17
K=+-根号17
所以直线L的方程为Y=+-根号X＋3
收起