已知平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的延长线交于P,求证：PC⊥AC．已知：如图,平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的延长线交于P,求证：PC⊥A

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 16:12:19

已知平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的延长线交于P,求证：PC⊥AC．已知：如图,平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的

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已知平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的延长线交于P,求证：PC⊥AC．
已知：如图,平行四边形ABCD,C在边AD、AB上的射影分别是M、N,NM延长后与BD的延长线交于P,求证：PC⊥AC．

为什么∠STA＝∠NMC，就能推出STCM四点共圆？

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证明：过M做PB平行线交AC于T,交AB于Q,设AC,BD交于O,过O做MN的垂线垂足为S,连接SC,ST
首先ANCM在以O为圆心OA为半径的圆上,故MN为圆上的弦,又OS垂直于MN
=>S为MN中点
又MT/OD=AT/AO=QT/OB=>MT/TQ=OD/OB=1=>T为QM中点
=>TS为三角形MNQ的中位线=>ST//AB
显然,角STA=角BAC=角NMC(后面这个等式是因为ANCM四点共圆）
=>STCM四点共圆=>角SMT=角SCT
又MT//PO=>角SMT=角SPO=>角SPO=角SCT=>SPCO四点共圆
=>角PCO=180-角PSO=90
=>PC⊥AC
证毕!

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