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第一块 平面直角坐标系及函数
平面直角坐标系是研究数学问题的一种基本工具之一.函数是数学中一个十分重要的概念,它借助于平面直角坐标系架起了数形结合的桥梁.正确理解函数的概念,掌握函数图象及其性质大分析解决问题中起关键作用.
1.函数的概念比较抽象,初中生理解时有一定难度,关键是应了解我们研究函数的实质就是研究两个变量之间的关系.在同一问题中,变化的数量之间往往有一定的联系,提示出某种规律,一个量变化,另一个量随之变化.
2.建立了平面直角坐标系后,平面内的点与有序实数对之间建立了一一对应关系.坐标平面内,由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式.点的坐标是解决函数问题的基础,函数解析式是解决函数问题的关键.所以,求点的坐标和探求函数解析式是研究函数的两大重要课题.
3.函数体现的是一个变化过程,在这一变化过程中要具备下列三点：（1）只能有两个变量；（2）一个变量随另一个变量的数值变化而变化；（3）对于自变量的每一个确定值,函数有唯一的值与它对应,允许多个x对应同一个y,但不允许一个x对应着多个y.
4.函数自变量的取值范围是一个重要的内容,它既要保证函数关系式有意义,又要保证符合实际意义.
5.函数的表示方法一般有三种：表格、图象、解析式,它们各有优缺点.
6.在平面直角坐标系中,如果以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标描点,所有这样的点组成的图形就是这个函数的图象.一般分三个步骤画函数的图象：列表——描点——连线（平滑曲线）.
7.函数与图象的关系必须理函数图象上的点的坐标满足函数关系式；满足函数关系式的点一定在函数图象上.就是我们常说的纯粹性和完备性.
8.坐标平面内的点的坐标特征：包括坐标轴上的点,各象限角平分线上的点,关于坐标轴、原点对称的点,平行于坐标轴的直线上的点及点的平移变换等都应熟练掌握.
第二块 一次函数
一次函数是初中阶段函数的一种具体形态.如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示为y=kx+b（k,b为常数,且k等于0）的形式,那么称y是x的一次函数,其中自变量x可取一切实数.当b=0时,y也叫做x的正比例函数.
1.正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,只有b=0时,才是正比例函数.
2.一次函数的图象是一条直线,画直线y=kx+b时,一般选点（0,b）和点（-b/k,0）,这恰好是直线与y轴和x轴的交点.而当-b/k不是整数时,（-b/k,0）也常被横纵坐标均为整数的点所替代.当b=0时,图象过原点,即正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线,画直线y=kx时,一般选原点（0,0）和点（1,k）.
3.一次函数y=kx+b中,k,b的符号与函数的增减性及直线的位置（指经过的象限）有直接关联,应熟练掌握.一般来说,k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；k0时,图象过第一、二象限；b

1.常量和变量
在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．
2．函数
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
3．自变量的取值范围
(1)整式：自变量取一切实数．
(2)分式：分母不为零．
(3)偶次方根...

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1.常量和变量
在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．
2．函数
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
3．自变量的取值范围
(1)整式：自变量取一切实数．
(2)分式：分母不为零．
(3)偶次方根：被开方数为非负数．
(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零．
4．函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．
5．函数的表示法
(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
6．函数的图象
把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．
由函数解析式画函数图象的步骤：
(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；
(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．
7．一次函数
(1)一次函数
如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．
(2)一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和 点的直线．
特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．
需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象．
(3)一次函数的性质
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为 ．
(4)用函数观点看方程(组)与不等式
①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．
②二元一次方程组 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．
③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．
8．反比例函数
(1)反比例函数
如果 (k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数．
(2)反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线．
(3)反比例函数的性质
①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．
②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．
③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．
(4)k的两种求法
①若点(x0，y0)在双曲线 上，则k＝x0y0．
②k的几何意义：
若双曲线 上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB

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反比例函数图像及运用

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